精品解析：第七章 立体几何与空间向量 第五节 空间向量与线、面位置关系 讲

第五节空间向量与线､面位置关系 一.课标要求，准确定位 1.掌握空间向量的有关知识点，及空间向量解决空间直线､平面位置关系的有关定理； 2.能运用结论解决空间直线､平面的位置关系问题. 二.考情汇总，名师解读 空间中直线､平面的位置关系，可以借用空间向量这一工具来解决，空间向量的运用使得空间立体几何问题转化为计算问题，把几何问题转化为代数的计算，因此在复习过程中要有空间思维能力和数学转化思想. 【二级结论】 1.空间向量的数量积 （1） （2）（为非零向量）. （3）；设，则. 2.空间向量的坐标运算 （1） （2） （3） （4） （5） 核心考点1空间向量 1. 下列命题不正确的是（ ） ①空间中任意三个不共面的向量都可以作为基底. ②直线的方向向量是唯一确定的. ③若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则aα. ④在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）. ⑤若，则是钝角. A. ①③④ B. ②③⑤ C. ③④⑤ D. ①②④ （教材改编题） 2. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用、、表示为___________. 核心考点2方向向量和法向量 3. 若在直线上，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 核心考点3空间平行问题 5. 已知，分别是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7 6. 直线a的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则“”是“”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 核心考点4空间垂直问题 7. 设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”) 考向一线性运算 9. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于______.(用，，表示) 【类题通法】用基向量表示指定向量的步骤： ①结合已知向量和所求向量观察图形； ②将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中； ③利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. 考向二共线､共面向量定理 10. 已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证： （1）四点共面； （2）； （3）． 【类题通法】共线､共面向量定理 （1）对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线：①=λ；②对空间任一点O，存实数t，使=+t；③对空间任一点O，=（1-t）+t或=x+y，这里x+y=1.（2）对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论来证明四点共面：①=x+y；②对空间任一点O，=+x+y；③对空间任一点O，=x+y+z，其中x+y+z=1；④. 考向三数量积运算 11. 如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，D为棱上一点，则的值为___________. 【类题通法】数量积运算 由向量数量积的定义知，求与的数量积，需已知和，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确. 数量积的坐标表示：知，则. 考向一直线的方向向量 12. 若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【类题通法】直线的方向向量 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量.注意： ①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行. ②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量. 方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量. 考向二平面的法向量 13. 空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（ ）． A. B. C. D. 【类题通法】平面法向量的确定通常有两种方法 （1）直接寻法：几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直即可. （2）待定系数法：当几何体中没有具体的直线可作为法向量时，根据已知平面内两条相交直线的方向向量，可运用数量积结合待定系数法求解平面的法向量（一般需要建立空间直角坐标系）.步骤如下： ①设：设出平面法向量的坐标为； ②列：根据，列出方程组（为平面内两条相交直线的方向向量）； ③取：取x（或y或z）为任意一个非零数（当然取得越特殊越好）； ④解：解出另外两个量，则得到平面法向量的坐标. 考向一线线平行 14. 已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分