精品解析：第二节 二项式定理（核心考点集训）

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第二节 二项式定理（核心考点集训） 1. 若二项式展开式中的第5项是常数项，则自然数n的值为_______ 2. 写出使“的展开式存在常数项”的n的一个取值__________． 3. 已知二项式的展开式中的系数为，则实数_______. 4. 在展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答） 5. 二项式展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是_____________． 6. 若展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 7. 在的展开式中，若二项式系数最大值为n，则（ ） A. 180 B. 165 C. 120 D. 55 8. 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（ ） A. 1 B. 4或1 C. 4或0 D. 6或0 9 若则（ ） A B. C. D. 10. 已知，则（ ） A B. C. D. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （2023春·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考阶段练习） 12. 若，则______. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第二节 二项式定理（核心考点集训） 1. 若二项式展开式中的第5项是常数项，则自然数n的值为_______ 【答案】12 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：二项式展开式的通项公式为， 其第5项为， 因为二项式展开式中的第5项是常数项， 所以，解得， 故答案为：12. 2. 写出使“的展开式存在常数项”的n的一个取值__________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再分析计算作答. 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，得，又，因此， 所以n的一个取值为3. 故答案为：3 3. 已知二项式的展开式中的系数为，则实数_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用所给的二项式写出展开式的通项即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为：. 当，解得：； 所以由展开式中含的项的系数为20可得： ，得，解得 故答案为:. 4. 在展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答） 【答案】100 【解析】 【分析】根据二项式的展开公式分别求出展开式中含有的项和展开式中项，即可求解. 【详解】中只有的展开式中才含有， 故中的项与展开式中含的项相乘得到， 展开式中项系数为， 故的项的系数为. 故答案为:100. 5. 二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数的特征求出，求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于6，求得的值，可得答案． 【详解】因为二项式展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式中共有项，， 故展开式通项为， 令，解得，故展开式中含的项是. 故答案为：． 6. 若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式可知，计算出，即可知二项式系数最大为，即为第6项. 【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和， 即，由二项式系数性质可得； 因此展开式中二项式系数最大项为，是第6项. 故选：C 7. 在的展开式中，若二项式系数最大值为n，则（ ） A. 180 B. 165 C. 120 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】先求出n,再由性质直接计算可得. 【详解】在的展开式中，若二项式系数最大值为, 由于， . 故选:B. 8. 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（ ） A. 1 B. 4或1 C. 4或0 D. 6或0 【答案】C 【解析】 【分析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，可以得到的值，然后再赋值法求出所有项的系数和的表达式可解出a的值，再分类求出中的系数即可得出答案. 【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项， 令得所有项的系数和为，或 当时，展开式中的系数为：， 当时，展开式中不含项. 故选：C. 9. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二项式定理及其通项，属中档题，令，得 ，令，得， 即可求解； 【详解】令，则，① 令，则，