专题9.3 椭圆（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题9.3 椭圆 【核心素养】 1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 知识点一 椭圆的定义 (1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合 ①若，则集合P为椭圆； ②若，则集合P为线段； ③若，则集合P为空集． 知识点二 椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程： （1）焦点在轴，； （2）焦点在轴，. 2．满足条件： 知识点三 椭圆的几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 常考题型剖析 题型一： 椭圆的定义及其应用 【典例分析】 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 例1-2.（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.应用椭圆的定义，可以得到结论： （1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用. 3.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 【变式训练】 变式1-1.（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 变式1-2. （2021·全国）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ） A．1 B．－1 C． D． 题型二：椭圆上的点、焦点距离问题 例2-1.（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C． D． 例2-2.（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练】 变式2-1.（2020·浙江·高三专题练习）已知点F为椭圆C：的右焦点，点P为椭圆C与圆的一个交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D． 变式2-2.（2023秋·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）点在以为焦点的椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的（    ） A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍 题型三：由a,b,c求椭圆标准方程 【典例分析】 例3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例3-2.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ） A． B． C． D． 【总结提升】 1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置． (2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程． 2．(1)方程与有相同的离心率． (2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 【变式训练】 变式3-1.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 变式3-2.（2023·全国·高三专题练习） 已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 . 题型四： 求过点的椭圆标准方程 例4-1.（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 例4-2.（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为