第13章 专项7-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测配套PPT课件（华东师大版）

八年级数学 （上册） 第13章 全等三角形 专项7　等腰三角形的常用作辅助线的方法 构造“三线合一”图形　　 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF. 求证：(1)ED＝DF；(2)ED⊥DF. 证明：(1)如答图，连结AD. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C. 又∵∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°. ∴AD＝BD. 在△BED和△AFD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝AF，,∠B＝∠DAF，,BD＝AD，)) ∴△BED≌△AFD(S.A.S.).∴ED＝DF. (2)∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF. ∴∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°， ∴∠EDF＝90°，∴ED⊥DF. 如图，在△ABC中AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD 上一点，且EA＝EC. 求证：EB⊥AB. 证明：如答图，作EF⊥AC于点F. ∵EA＝EC，∴AF＝FC. ∵AC＝2AB，∴AF＋FC＝2AF＝2AB，∴AF＝AB. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. 又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE. ∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB. 作平行线构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在 AC延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF. 证明：过点D作DM∥AC交BC于点M， 如答图， ∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠DMB， ∴BD＝MD. ∵BD＝CE，∴MD＝CE. 在△DMF和△ECF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MDF＝∠E，,∠MFD＝∠CFE，,MD＝CE，)) ∴△DMF≌△ECF(A.A.S.)，∴DF＝EF. 如图，在△ABC中，CA＝CB，D在AC延长线上， E在BC上，且CD＝CE.求证：DE⊥AB. 证明：如答图，过点D作DM∥AB，交BC的延长线于点M， ∴∠MDC＝∠A，∠M＝∠B. ∵AC＝BC，∴∠A＝∠B， ∴∠M＝∠MDC. ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED. ∴∠M＋∠MDE＋∠CED＝180°， ∴∠M＋∠MDC＋∠CDE＋∠CED＝180°， ∴∠MDC＋∠CDE＝90°， 即∠MDE＝90°，DE⊥DM. ∵MD∥AB，∴DE⊥AB. 补形法构造等腰三角形　　 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD. (1)求证：BE＝CE； (2)求证：AE⊥DE； (3)求证：AE平分∠DAB. 证明：(1)如答图，延长AB、DE交于点F. ∵AB∥CD，∴∠F＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F. ∴AD＝AF. ∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF， ∴DC＝FB. 又∵∠DEC＝∠FEB， ∴△DCE≌△FBE，∴BE＝CE. (2)由(1)知△DCE≌△FBE，AD＝AF， ∴DE＝EF.∴AE⊥DE. (3)∵DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAB. 倍长中线法构造等腰三角形　　 (江苏南京月考)倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．利用上述方法解决以下问题：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 解：如答图，延长GE交CB的延长线于M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CM， ∴∠AGE＝∠M. ∵E为AB边的中点， ∴AE＝BE.在△AEG和△BEM中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AGE＝∠M，,∠AEG＝∠BEM，,AE＝BE，)) ∴△AEG≌△BEM(A.A.S.)， ∴GE＝ME，AG＝BM＝2. 又∵EF⊥MG，∴FG＝FM. ∵BF＝4，∴MF＝BF＋BM＝4＋2＝6， ∴GF＝FM＝6. 如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF. 证明：如答图，延长AD到G使DG＝AD，连结CG. ∵AD为中线， ∴BD＝CD. 又∵∠ADB＝∠CDG，AD＝GD， ∴△ADB≌△GDC， ∴AB＝GC，∠EAF＝∠G. ∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA. ∵∠EFA＝∠CFG，∴∠G＝∠CFG， ∴CF＝CG，∴AB＝CF. 延长(或截取)法构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB 交AB于点D.求证：AC＋AD＝BC. 证明：证法一