专项8 分类讨论思想在三角形中的应用-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

全等三角形问题中的分类讨论　　 在△ABC中，AD、CE为高，两条高所在的直线相交于点H.若CH＝AB，求∠ACB的度数． 两个三角形的两边及其中一边上的高对应相等，这两个三角形是否全等？若全等，请给出证明；若不全等，请说明理由． 等腰三角形问题中的分类讨论　　 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为(　　) A．36° B．54° C．72°或36° D．54或126° (浙江宁波鄞州区期末)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的度数为________． 线段垂直平分线与角平分线问题中的分类讨论　　 在△ABC中，AB＝AC.若OB＝OC，点A到BC的距离是6，点O到BC的距离是4，则AO＝(　　) A．2 B．8或10 C．2或 10 D．8 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，求∠C的度数. 在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°.若点O到△ABC三边的距离相等，求∠BOC的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项8　分类讨论思想在三角形中的应用 1．解：∵AD、CE为△ABC的高， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°， ∴∠BAD＋∠B＝90°，∠DCH＋∠B＝90°， ∴∠DCH＝∠DAB. 在△ABD和△CHD中， ∵∠DAB＝∠DCH，∠ADB＝∠CDH＝90°，AB＝CH， ∴△ABD≌△CHD(A.A.S.)，∴AD＝CD. 又∵∠ADC＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°. 如答图①，当△ABC是锐角三角形时，∠ACB＝45°； 如答图②，当△ABC是钝角三角形时， ∠ACB＝180°－∠ACD＝180°－45°＝135°. 综上，∠ACB的大小为45°或135°. 本题中，如果审题不清，易忽视“两条高所在直线相交”，只考虑到“两条高相交”而产生漏解． 2．解：不一定全等．理由如下： 当两个三角形均为锐角三角形或均为钝角三角形或均为直角三角形时全等，以两个三角形均为锐角三角形为例进行证明．(另外两种情况同理可证). 已知：如答图①，锐角三角形ABC和锐角三角形EFG中，AB＝EF，BC＝FG，AD⊥BC于点D，EH⊥FG于点H，且AD＝EH. 求证：△ABC≌△EFG. 证明：因为AD⊥BC，EH⊥FG， 所以∠ADB＝∠EHF＝90°. 在Rt△ABD和Rt△EFH中， 因为AB＝EF，AD＝EH， 所以Rt△ABD≌Rt△EFH(H.L.)， 所以∠B＝∠F. 在△ABC和△EFG中， 因为AB＝EF，∠B＝∠F，BC＝FG， 所以△ABC≌△EFG(S.A.S.). 当两个三角形不都是锐角三角形时不全等，反例如答图②. 本题的易错之处是认为题中三角形都是锐角三角形，从而得到两个三角形全等的结论．而事实上题目中的两个三角形并没有指明都是锐角三角形，因此容易犯特殊代替一般的错误． 3．D　[解析]①如答图①，等腰三角形ABC为锐角三角形，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝36°，∴∠A＝54°，即顶角的度数为54°.②如答图②，等腰三角形ABC为钝角三角形，AB＝AC，BD⊥AC，∠DBA＝36°，∴∠BAD＝54°，∴∠BAC＝126°. 4．65°或115°　[解析]①如答图①，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在等腰三角形外部．由题意得∠ABD＝25°，∠D＝90°.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角∠BAC＝90°＋25°＝115°；②如答图②，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在等腰三角形内部，此时有∠ABD＝25°，∠BDA＝90°，故顶角∠A＝90°－25°＝65°，故答案为65°或115°. 5．C　[解析]∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O都在线段BC的垂直平分线上，设该垂直平分线与BC交于点M，则AM⊥BC.∵点A到BC的距离为6，点O到BC的距离为4，∴AM＝6，OM＝4.分两种情况讨论：①点O在△ABC内，此时AO＝AM－OM＝2；②点O在△ABC外，此时AO＝AM＋OM＝10. 6．解：①如答图①，当AB的垂直平分线MN与AC相交于点D时，∠ADM＝50°. ∵∠AMD＝90°，∴∠A＝90°－50°＝40°， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝(180°－∠A)＝70°. ②如答图②，当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交于点D时，∠ADN＝50°，∠DAB＝90°－50°＝40°. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝∠DAB＝20°. 综上所述，∠C的度数为20°或70°. 7．解：①如答图①， ∵点O到△ABC三边的距离相等， ∴点O是△ABC三个内角平分线的交点．