专项7 等腰三角形的常用作辅助线的方法-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

构造“三线合一”图形　　 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF. 求证：(1)ED＝DF；(2)ED⊥DF. 1题图 如图，在△ABC中AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC. 求证：EB⊥AB. 2题图 作平行线构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF. 3题图 如图，在△ABC中，CA＝CB，D在AC延长线上，E在BC上，且CD＝CE.求证：DE⊥AB. 4题图 补形法构造等腰三角形　　 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD. (1)求证：BE＝CE； (2)求证：AE⊥DE； (3)求证：AE平分∠DAB. 5题图 倍长中线法构造等腰三角形　　 (江苏南京月考)倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．利用上述方法解决以下问题：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 6题图 如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF. 7题图 延长(或截取)法构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC＋AD＝BC. 8题图 截长补短法构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB. 9题图 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C. 10题图 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项7　等腰三角形的常用作辅助线的方法 1．证明：(1)如答图，连结AD. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C. 又∵∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°. ∴AD＝BD. 在△BED和△AFD中， ∴△BED≌△AFD(S.A.S.).∴ED＝DF. 1题答图 (2)∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF. ∴∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°， ∴∠EDF＝90°，∴ED⊥DF. 2．证明：如答图，作EF⊥AC于点F. ∵EA＝EC，∴AF＝FC. ∵AC＝2AB，∴AF＋FC＝2AF＝2AB，∴AF＝AB. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. 又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE. ∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB. 2题答图 3．证明：过点D作DM∥AC交BC于点M， 如答图， ∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠DMB， 3题答图 ∴BD＝MD. ∵BD＝CE，∴MD＝CE. 在△DMF和△ECF中， ∴△DMF≌△ECF(A.A.S.)，∴DF＝EF. 4．证明：如答图，过点D作DM∥AB，交BC的延长线于点M， ∴∠MDC＝∠A，∠M＝∠B. ∵AC＝BC，∴∠A＝∠B， 4题答图 ∴∠M＝∠MDC. ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED. ∵∠M＋∠MDE＋∠CED＝180°， ∴∠M＋∠MDC＋∠CDE＋∠CED＝180°， ∴∠MDC＋∠CDE＝90°， 即∠MDE＝90°，DE⊥DM. ∵MD∥AB，∴DE⊥AB. 5．证明：(1)如答图，延长AB、DE交于点F. ∵AB∥CD，∴∠F＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F. ∴AD＝AF. ∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF， ∴DC＝FB. 5题答图 又∵∠DEC＝∠FEB， ∴△DCE≌△FBE，∴BE＝CE. (2)由(1)知△DCE≌△FBE，AD＝AF， ∴DE＝EF.∴AE⊥DE. (3)∵DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAB. 6．解：如答图，延长GE交CB的延长线于M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CM， ∴∠AGE＝∠M. ∵E为AB边的中点， ∴AE＝BE.在△AEG和△BEM中， ∴△AEG≌△BEM(A.A.S.)， ∴GE＝ME，AG＝BM＝2. 又∵EF⊥MG，∴FG＝FM . 6题答图 ∵BF＝4，∴MF＝BF＋BM＝4＋2＝6，