专项6 构造全等三角形的两种常用方法-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

“倍长中线法”构造全等三角形　　 如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 1题图 如图，在△ABC中，点E、D在BC边上，CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，点E是BD的中点． 求证：∠C＝∠BAE. 2题图 如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，且BE＝AC.求证：∠BED＝∠DAC. 3题图 “截长补短法”构造全等三角形　　 如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明． 4题图 如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E、F分别为DC、BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB.试猜想DE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的猜想． 5题图 如图，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O.求证：AE＋CD＝AC. 6题图 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项6　构造全等三角形的两种常用方法 1．解：如答图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结CE. ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD. 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD(S.A.S.)， 1题答图 ∴AB＝EC＝5. 在△ACE中，由三边关系定理可知EC－AC<AE<EC＋AC. ∵AE＝2AD，∴5－3<2AD<5＋3，∴1<AD<4. 把中线AD加倍延长至点E，可以构造△ABD≌△ECD，可得AB＝EC.在△ACE中，利用三边关系定理便可确定AE的取值范围，从而确定AD的取值范围． 2．证明：如答图，延长AE至F，使EF＝AE，连结DF. ∵点E为BD的中点， ∴BE＝DE. 又∵∠BEA＝∠DEF，AE＝FE， ∴△ABE≌△FDE. ∴AB＝FD，∠B＝∠BDF，∠BAE＝∠F. ∵CD＝AB，∴DF＝DC. ∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠BAD＝∠BDA，∠B＝∠BDF， ∴∠ADC＝∠ADF. 又∵DF＝DC，AD＝AD， ∴△ADF≌△ADC.∴∠C＝∠F. 又∵∠BAE＝∠F，∴∠C＝∠BAE. 2题答图 3．证明：如答图，过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BG⊥AD，交AD的延长线于点G. ∴∠G＝∠CFD＝90°. ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD. 又∵∠BDG＝∠CDF， ∴△BDG≌△CDF. 3题答图 ∴BG＝CF. 在Rt△BGE和Rt△CFA中， ∴Rt△BGE≌Rt△CFA(H.L.). ∴∠BED＝∠DAC. 4．解：BC＝BE＋CD. 证明：在BC上取一点G，使CG＝CD，连结OG. ∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE. ∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°. ∴∠OBC＋∠OCB＝60°. ∴∠BOE＝∠COD＝∠OBC＋∠OCB＝60°. 4题答图 在△CDO和△CGO中， ∴△CDO≌△CGO(S.A.S.)， ∴∠COD＝∠COG＝60°， ∴∠BOG＝180°－∠BOE－∠COG＝60°. ∴∠EOB＝∠GOB. 在△BOE和△BOG中， ∴△BOE≌△BOG(A.S.A.).∴BE＝BG. ∴BC＝BG＋CG＝BE＋CD. 5．解：DE＋BF＝EF. 证明：延长CB至G，作∠5＝∠1，如答图． ∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC， ∠EAF＝∠DAB， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠2＋∠3＝∠1＋∠4. ∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5. ∴∠GAF＝∠EAF. 在△AGB和△AED中， ∴△AGB≌△AED(A.S.A.).∴AG＝AE，BG＝DE. 在△AGF和△AEF中， ∴△AGF≌△AEF(S.A.S.).∴GF＝EF. ∴BG＋BF＝EF.∴DE＋BF＝EF. 5题答图 6．证明：如答图，在AC上取点F，使AF＝AE，连结OF. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO. 在△AEO和△AFO中， ∴△AEO≌△AFO(S.A.S.)，∴∠AOE＝∠AOF. ∵CE平分∠ACB，∴∠ECA＝∠ECB， ∴∠OAC＋∠OCA＝(∠BAC＋∠ACB) ＝(180°－∠B)＝60°. ∵∠AOE是△AOC的外角， ∴∠AOE＝∠OAC＋∠OCA， ∴∠AOE＝∠AOF＝60°. ∵∠AOE＝∠COD，∴∠COF＝∠COD＝60°. 在△CFO和△CDO中，