解析几何——椭圆 学案-2024届高三数学一轮复习

解析几何 椭圆 学案 思维导图 基础夯实 【核心知识整合】 考点1：椭圆的定义及标准方程 1.定义 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹是线段，若，则动点的轨迹不存在. 2.标准方程 （1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为. （2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为. 3.焦点三角形 （1）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则，其中 （2）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则的周长为. （3）过焦点的弦AB与椭圆另一个焦点构成的的周长为4a. 考点2：椭圆的几何性质 标准方程 焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ， 图形 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点坐标 ，， ， ，， ， 长、短轴长 长轴长，短轴长 离心率 考点3：直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系的判断 把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理成的形式，则： 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交，有两个公共点 直线与椭圆相切，有一个公共点 直线与椭圆相离，无公共点 2.弦长公式 设直线l：与椭圆交于. 则，， . 探究训练 [典型例题] 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. [答案]B [解析]设焦距为2c.因为的周长为18，所以，所以.因为长半轴长为5，即，所以，所以椭圆C的离心率.故选B. 2.已知过原点O的直线l与椭圆相交于点A，B，点P是椭圆C上异于点A，B的动点，直线PA，PB的斜率分別为，，则的值为( ) A. B. C. D.与点P的位置有关 [答案]A [解析]设点，，则点， ，，. 又由题意得，，两式作差，得， 即，，即.故选A. 3.过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点B为椭圆的右顶点，直线PB，QB分别交直线于M，N两点，则( ) A.3 B.-3 C.-5 D.5 [答案]C [解析]设，显然直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为，代入整理得， 易得恒成立，则，. 由题意得，则直线PB的方程为， 令，可得点，同理可得直线QB的方程得点，所以， 所以 ，故选C. 4.已知椭圆的焦距是2，则m的值是___________. [答案]5 [解析]在椭圆中，，，所以，解得. [变式训练] 1.设，为椭圆的两个焦点，若在椭圆C上存在点P，满足，则实数n的取值范围为( ) A. B. C. D. [答案]A [解析]由题意，知当点P在椭圆左、右顶点处时最大，所以若椭圆C上存在一点P使，则只需点P在椭圆左、右顶点处时，此时，，即.又，，所以，解得.又，所以.故选A. 2.已知点P是椭圆上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的平分线上一点，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. [答案]B [解析]如图，延长交的延长线于点G， ，.又PM为的平分线，，M为的中点.又为的中点，.， ，易知，且，.故选B. 3.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________. [答案]13 [解析]如图，连接，，， 因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，，所以，解得，所以，所以的周长为. 素养提升 【规律总结】 1.与椭圆性质有关的最值或取值范围的求解方法 （1）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围. （2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围. （3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围. （4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围. 2.直线与椭圆相交的弦长问题的求法 （1）直线斜率不存在时的弦长问题：若直线斜率不存在，可以直接将直线方程 （一般方程中带有字母参数）代人椭圆方程，得交点坐标，进而求相交弦问题.直接求解此类问题的情况较少，一般是在求直线方程的有关问题中，分类讨论此种情况.注意在解答时不要漏解，同时注意检验是否符合题意. （2）直线斜率存在时的弦长公式：若直线斜率存在，直线方程为，与椭圆的两个交点为，，则相交弦长[其中A为的系数]. 学科网（北京）股份有限公司 $$