第二章特殊三角形几何辅助线专题2023-2024学年浙教版八年级数学上册

几何中常见的辅助线专题 1.如图，正方形ABCG和正方形CDEF，点B，C，D，再同一直线上，连接AE，M为AE的中点，连接CM，若CM=，CD=3，则AB= . 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且AE=AD，EF⊥CD交BC于点F，交CD于点O.若AD=5，则BF= . 3.如图，△ABC，∠BAC=36°，AD平分∠BAC，AE⊥AD交BC的延长线于点E，若CE=BA+AC，则∠B= . 4.如图，四边形ABCD中，CD∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为 . 5.如图，四边形ABCD中，，∠DCB=90°，点E为AB延长线上一点，连接DE交BC于点F，满足DF=EF,若CF=3，AB=5，则点B到AD的距离为 . 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于点D，交BM于点E，求证：∠AMB=∠DMC. 7.如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE，分别平分∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明. 8.如图，△ABC中，在BC边上取点D和E，使之三等分BC，连接AD，AE，求证：AB+AC＞AD+AE. 9.如图，已知正方形ABCD中，F为CD的中点，AF平分∠EAD. 求证：（1）AE=EC+AD ; （2）AE=BE+DF. 10.如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连接DE，DF，EF，求证：△DEF为等腰直角三角形. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 1. 如图，连接AC，CE，易得∠ACE=90°， ∵M为AE中点， ∴AE=2CM=，CE=， ∴AC=， ∴AB=. 2.10 如图，连接DF， ∵AD=AE，∠A=90°， ∴∠ADE=∠B=45°， ∴DE∥BC， ∵CD平分∠ACB， ∴∠EDC=∠DCE=∠DCF=22.5°， ∴CE=DE=， ∵EF⊥CD， ∴CO=DO， ∴CF=DF，易得∠CEF=∠CFE=67.5°， ∴CE=CF=，∠BFD=2∠FCD=45°=∠B， ∴BF=10. 3.48° 如图，延长BA至F，使AF=AC，连接EF. ∵AD平分∠BAC，AE=AE， ∴△ACE△AFE（SAS）， ∴EF=CE，∠F=∠ACE， ∵CE=BA+AC=BA+AF=BF, ∴BF=EF， ∴∠B=∠FEC. 设∠FEA=∠BEA=， ∴∠B=，∠F=∠ACE=∠B+∠BAC=， ∵∠F+∠B+∠FEB=180°， ∴，解得， ∴∠B=48°. 4. 如图作PD⊥BD，交BA的延长线于点P， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵∠ADB+∠ADP=90°，∠ABD+∠P=90°， ∴∠ADP=∠P， ∴AD=AP=2， ∵CD∥AB， ∴∠ADC=∠DAP，∠ACD=∠BAC， ∵AC=AD， ∴∠ADC=∠ACD，∠DAP=∠BAC， ∴△ADP△ACB（SAS）， ∴BC=PD=1， 在Rt△BDP中，BD=, ∴BD的长为. 5. 如图，延长AD，BC交于点G，过点D作DH∥AB， ∵DF=EF，可证△DHF△EBF， ∴FH=BF， ∵， ∴∠A+2∠ABC=180°=∠A+∠ABC+∠G， ∴∠ABC=∠G， ∴AB=AG=5，进而可证DG=DH， 又∵DC⊥BC， ∴GC=HC， ∴BG=2CF=6. 作BG上的高AI，则BI=GI=3，由勾股定理，得AI=4，再由面积法得点B到AD的距离为. 6.证明：如图，延长AD至F，使得CF⊥AC， ∵AB⊥AC，AD⊥BM， ∴∠ABM=∠DAC， 在△ABM与△CAF中， ∴△ABM△CAF（AAS） ∴∠BMA=∠F，AM=CF， 在△FCD与△MCD中， ∴△FCD△MCD（SAS） ∴∠F=∠CMD， ∴∠AMB=∠DMC. 7.BE+CD=BC, 证明：在BC上截取BF=BE，连结OF， 易利用SAS证得△BEO△BFO， ∴∠1=∠2， ∵∠A=60°， ∴∠BOC=90°+∠A=120°， ∴∠DOE=120°， ∴∠A+∠DOE=180°， ∴∠AEO+∠ADO=180°， ∴∠1+∠3=180°， ∵∠2+∠4=180°， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 利用AAS证得△CDO△CFO， ∴CD=CF， ∴BC=BF+CF=BE+CD. 8.如图，延长AD至G，使DG=AD，延