第八章 数学建模活动(一)-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学·必修·第一册 第八章 数学建模活动(一) 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 课堂互动探究， 培优关键能力 高效导学第二步 [课程标准]　1．了解数学建模的意义；　　2．了解数学建模的基本过程；　3．能够运用已有函数模型或建立函数模型解决实际问题． 一、什么是数学模型 数学模型是对现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构． 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述)，即用数学式子(如函数、图形、代数方程等)来描述(表述、模拟)所研究的客观现象或系统在某一方面的存在规律． 二、什么是数学建模 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践． 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解． 数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学语言、方法去近似地刻画该实际问题，这种刻画的数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程． 数学模型一经提出，就要用一定的技术手段(计算、证明等)来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速发展，掀起了一个高潮． 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一． 三、数学建模的主要步骤 数学建模活动的基本过程如下： 四、数学建模的重要意义 1．在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地． 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题(如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等)迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD(计算机辅助设计)技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段． 2．在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具． 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段．数学建模、数值计算和计算机图形等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一． 3．数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地． 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生．在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地．马克思说过，一门科学只有成功运用数学时，才算达到了完善的地步． 展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期． 题型一　建立函数模型解决实际问题 例1．据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内台风所经过的路程s(km)． (1)当t＝4时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． [思路点拨]　(1)由图求出直线OA的方程，把t＝4代入可得s的值； (2)由图分析可知s是关于t的分段函数，分三段求出即可； (3)利用(2)中所得的函数的值域求解． 解：(1)由图象可知，直线OA的方程是v＝3t，直线BC的方程是v＝－2t＋70． 当t＝4时，v＝12，所以s＝eq \f(1,2)×4×12＝24． (2)当0≤t≤10时，s＝eq \f(1,2)×t×3t＝eq \f(3,2)t2； 当10<t≤20时，s＝eq \f(1,2)×10×30＋(t－10)×30＝30t－150； 当20<t≤35时，s＝150＋300＋eq \f(1,2)×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550． 综上可知，s随t变化的规律是 s＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)t2，t∈[0，10]，,30t－150，t∈（10，20]，