第四章　对数运算与对数函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学·必修·第一册 第四章 对数运算与对数函数 §3　对数函数 3．1　对数函数的概念 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 logax(a>0，且a≠1) 定义域 值域 课堂互动探究， 培优关键能力 高效导学第二步 课下培优巩固练(三十) [课程标准]　通过具体实例，了解对数函数的概念． 一、对数函数的概念 一般地，函数y＝________________________叫作对数函数，其中a称为底数．由定义可知，对数函数具有以下基本性质： (1)定义域是(0，＋∞)； (2)图象过定点(1，0) ． 记一记：1．对数函数的定义域是(0，＋∞)的理解ax＝N⇔logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0． 2．在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．如y＝2log2x，y＝log5eq \f(x,5)都不是对数函数，可称其为对数型函数． 二、反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的______和____正好互换． 记一记：反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称． (2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． (3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同． 【基点小试】 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 解析： A是对数函数，B中真数是x＋1，不是x，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．故选A． 答案：A 2．函数f(x)＝eq \f(\r(x－4),lg x－1)的定义域是(　　) A．[4，＋∞) B．(10，＋∞) C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞) 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,lg x≠1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥4，,x≠10，)) ∴x≥4且x≠10，故选D． 答案：D 3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B．eq \f(1,2x) D．2x－2 解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x． 答案：A 题型一　对数函数的概念 【练一练】 1．下列函数中是对数函数的是(　　) A．y＝logeq \s\do9(\f(1,2))(－x)(x<0) B．y＝2log4(x－1)(x>1) C．y＝ln x(x>0) D． (x>0，a是常数) 解析：对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，当a＝－eq \f(1,2)时，底数小于0，故D不是对数函数． 答案：C 2．给出下列函数： (1)y＝logπx；(2)y＝logex；(3)y＝log10x； (4)y＝e·logax；(5)y＝log2x2；(6)y＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))． 其中是对数函数的是______．(将符合的序号全填上) 解析：(4)的系数不是1，(5)的真数不是x，(6)的真数不是x． 答案：(1)(2)(3) 【悟一悟】 判断对数函数的方法 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即满足以下条件： (1)系数为1． (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)真数仅有自变量x． 题型二　对数函数式的求值问题 例1． (1)(2023·四川内江高一期末)已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,1＋log2x，x>0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．eq \f(1,2) 解析： feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(