第三章　指数运算与指数函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学·必修·第一册 第三章 指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 正数a 正整数m，n bn＝am a 0 没有意义 课堂互动探究， 培优关键能力 高效导学第二步 [课程标准]　通过对有理数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程． 一、正分数指数幂 给定______和____________(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得____________，则称b为__的eq \f(m,n)次幂，记作b＝ ，这就是正分数指数幂． 二、分数指数幂 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数指数幂 规定： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂________ 想一想：根式与分数指数幂有什么关系？ 提示： eq \r(n,am)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，m，n∈N＋，且n>1))． 【基点小试】 1．计算等于(　　 ) A．9 B．3 C．±3 D．－3 解析：由35＝243，得＝3． 答案：B． 2．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝(　　 ) 答案：B 3．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)， (1)eq \r(a3)＝________；(2)eq \f(1,\r(3,a5))＝________． 解析： 答案： 4．若－1<x<2，化简 eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2＋2x＋1)． 解：原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))\s\up12(2))－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))\s\up12(2))＝|x－2|－|x＋1|． ∵－1<x<2，∴x＋1>0，x－2<0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x． 题型一　根式的化简与求值 例1．化简： (1)eq \r(n,（x－π）n)(x＜π，n∈N*)； (2)eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))\s\up12(4))． 解：(1)∵x＜π，∴x－π＜0． 当n为偶数时， eq \r(n,（x－π）n)＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时， eq \r(n,（x－π）n)＝x－π． 综上可知， eq \r(n,（x－π）n)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.)) (2)eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))\s\up12(4))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.)) [总结] 　正确区分eq \r(n,an)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a))) eq \s\up12(n) (1)eq \r(n,an)表示a的n次方的n次方根，而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a))) eq \s\up12(n)表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同． (2)运算结果不同 ①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a))) eq \s\up12(n)＝a．②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.)) 【练一练】 1．若xy≠0，则使eq \r(4x2y2)＝－2xy成立的条件可能是(　　 ) A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0 C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0 解析：∵eq \r(4x2y2)＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0．又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B． 答案：B 2．若eq \r(（2a－1）2)＝eq \r(3,（1－2a）3)，则实数a的取值范围为________． 解析：eq \r(（2a－1）2)＝|2a－1|，eq \r(3,（1－2a）3)＝1－2a．因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤eq \f(1,2)． 答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 题型二　根式与分数指数幂的互化 例2．(1)可化为(　　 )