精品解析：第三节 圆的方程 讲

第三节 圆的方程 一．课标要求，准确定位 1．确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 二．考情汇总，名师解读 1．圆的标准方程的求解、圆心坐标及半径长的确定、点与圆的位置关系问题是常考题型，偶尔会考查与圆的标准方程有关的最值问题和对称问题． 2．考查动点的轨迹(方程)，题型多以选择题或填空题的形式出现． 1．圆的方程 （1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 注：平面内动点P到两定点A，B距离的比值为λ，即＝λ， ①当λ＝1时，P点轨迹是线段AB的垂直平分线； ②当λ≠1时，P点轨迹是圆． （2）圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心，r为半径的圆． 注：确定圆心位置的方法： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上； ③两圆相切时，切点与两圆圆心共线． （3）圆的一般方程：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到： 2＋2＝． ①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程； ②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点； ③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置 关系 d与r的 大小关系 图示 点P的坐标满足条件 点在 圆外 d＞r (x0－a)2＋ (y0－b)2＞r2 点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在 圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 3．若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；当E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 4．圆的几何性质 （1）圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2． （2）圆的弦的垂直平分线过圆心． （3）一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分线的交点． (4)已知圆心所在直线及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心． 【二级结论】 1．常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2 ＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 3．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． 4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数．可用来设圆上的点的坐标． 核心考点1 圆的方程 1. 判断下列命题正确的是（ ） A. 方程表示圆心为，半径为的圆 B. 方程一定表示圆 C. 若点在圆外，则 D. 已知圆的方程为，过点作该圆的切线，只有两条 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线是圆的对称轴，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则以为直径的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 核心考点2 与圆有关的轨迹问题 (2020·全国Ⅲ卷) 5. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 (2022·重庆一中月考) 6. 若动点到两点的距离之比为，则点的运动轨迹方程为__________. 核心考点3 与圆有关的最值问题 (2020·北京高考) 7. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 圆上的点到直线的最大距离与最小