(教参)第2章 微素养·专题突破四 勾股定理及其逆定理的应用-【精彩练习】2023-2024学年八年级上册数学同步评价作业教师用书word+课件PPT（浙教版，浙江专用）

　四　勾股定理及其逆定理的应用 　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 下图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走捷径AC，于是在草坪内走出了一条不该有的路AC，已知AB＝40米，BC＝30米，他们踩坏了__50__米长的草坪，只为少走__20__米的路． 【变式1】 如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为(　A　) A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米 变式1题图 　　　变式2题图 【变式2】 如图，一架长2.5米的梯子斜立在一面竖直的墙上，梯子底端距离墙底0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底端将向左滑动__0.8__米． 【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于(　A　) A．2π B．3π C．4π D．8π 【解析】∵S1＝πAC2，S2＝πBC2， ∴S1＋S2＝π(AC2＋BC2)＝πAB2＝2π. 故选A. 【变式1】 如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是(　B　) A．π cm2 B．π cm2 C．81π cm2 D．π cm2 【变式2】 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是(　B　) A．144 B．49 C．64 D．25 【变式3】 如图，在Rt△ABC中，两直角边BC和AB的长分别为3和4，以斜边AC为边作一个正方形ACDE，再以正方形的边AE为斜边作Rt△AFE，然后依次以两直角边AF和EF为边分别作正方形AHGF和EFMN，则图中阴影部分的面积为 __25__． 【变式4】 如图，∠B＝∠D＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝1，求四边形ABCD的面积． 变式4题图 　　　变式4题答图 解：连结AC， 在△ABC中， ∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝1， ∴AC＝＝＝5， S△ABC＝AB·BC＝×4×3＝6. 在Rt△ACD中， ∵AC＝5，CD＝1， ∴AD＝＝＝， ∴S△ACD＝CD·AD＝×1×＝. ∴四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ACD＝6＋. 【例3】 如图，在边长为2的等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点P是BC边的中垂线MN上任一点，则PC＋PD的最小值为____． 例3题图 　　　　变式1题图 【变式1】 如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(　C　) A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【解析】过E作EM∥BC，交AD于N， ∵AC＝4，AE＝2， ∴AM＝AE＝BM＝2. ∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形， ∴AD⊥BC. ∵EM∥BC， ∴AD⊥EM. ∵AM＝AE， ∴E和M关于AD对称． 连结CM交AD于F，连结EF，如图． 则此时EF＋CF的值最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC. ∵AM＝BM， ∴∠ECF＝∠ACB＝30°. 【变式2】 如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M，N分别是OA，OB上的动点，则PM＋MN的最小值是(　D　) A．2 B．4 C． D． 　变式2题图 　　变式3题图 【变式3】 如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝4，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是(　B　) A． B．2 C．6 D．3 【解析】分别作P点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，如图， 则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝4，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC， ∴PN＋PM＋MN＝ND＋MN＋MC＝DC，∠COD＝∠BOP＋∠BOD＋∠AOP＋∠AOC＝2∠AOB＝120°， 此时△PMN的周长最小， 作OH⊥CD于H，则CH＝DH， ∵∠OCH＝30°， ∴CH＝， ∴CD＝2CH＝2. ∴△PMN周长的最小值是2. 故选B. 【变式4】 如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，求CF＋EF的最小值． 变式4题图 　变式4题答图 解：过点C作CH⊥AB