(教参)第2章 微素养·专题突破三 中垂线与角平分线的应用-【精彩练习】2023-2024学年八年级上册数学同步评价作业教师用书word+课件PPT（浙教版，浙江专用）

　三　中垂线与角平分线的应用 　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是点M，N. (1)若BC＝10，求△ADE的周长． (2)若∠BAC＝110°，求∠DAE的度数． 解：(1)∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC＝10. (2)∵∠BAC＝110°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝70°. ∵AD＝BD，AE＝CE， ∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C， ∴∠BAD＋∠CAE＝70°， ∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝110°－70°＝40°. 【变式1】 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E.已知△ABC与△BCE的周长分别为22 cm和14 cm，则BD的长为(　B　) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 变式1题图 　　　变式2题图 【变式2】 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，若∠CAE＝∠B＋18°，则∠B的度数为 __24°__． 【变式3】 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，分别交边AC，AB于点D，E，CE平分∠ACB. (1)若AB＝9，BC＝5，求△BCE的周长． (2)设∠A＝α，∠B＝β，试用含α的式子表示β，再求当α＝28°时，β的值． 解：(1)∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴△BCE的周长＝BC＋BE＋EC＝BC＋BE＋EA＝BC＋AB＝14. (2)∵EA＝EC， ∴∠ECA＝∠A＝α. ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ECA＝α， ∴β＝180°－3α. 当α＝28°时，β＝180°－3×28°＝96°. 【例2】 已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB. (1)如图1，求∠BDC的度数． (2)如图2，连结AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积． 解：(1)∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°. ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°， ∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB ＝180°－30°－20° ＝130°. (2)作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC， ∴DH＝DE＝2. ∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC， ∴DF＝DH＝2， ∴△ADC的面积＝DF·AC＝×2×4＝4. 【变式1】 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若AD＝2，则点D到BC的距离为(　D　) A．1 B． C． D．2 【变式2】 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝__6∶8∶3__． 【变式3】 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴DE＝DF， ∴AD平分∠BAC. 【例3】 如图，有一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，现将纸片折叠，使点A与点B重合，求折痕的长度． 例3题图 　　　例3题答图 解：如图，折痕为DE. ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm， ∴根据勾股定理得，AB＝＝10 cm. 设CE＝x cm，由折叠的性质得 BD＝AD＝5 cm，BE＝AE＝(8－x) cm， 在Rt△BCE中，根据勾股定理可知，BC2＋CE2＝BE2， 即62＋x2＝(8－x)2，解得x＝， 故折痕长DE＝＝cm. 【变式1】 如图，有一张直角三角形纸片，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，现将△ABC折叠，使边AC与AB重合，折痕为AE，则CE的长为(　C　) A．1 cm B．2 cm C． cm D． cm 【变式2】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段CE的长等于__4.8__，线段B′F的长等于__1.6__． 【变式3】 小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落