精品解析：重难专攻(五) 数列中的综合问题(讲）

重难专攻（五） 数列中的综合问题 一.课标要求，准确定位 1．了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题． 2．能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题． 二．考情汇总，名师解读 在创新型高考形势下，新情景、新定义试题应运而生，越来越多的以数学文化、社会热点、国计民生等为背景的试题来考查学生的数学素养．这需要我们将其抽象为数学问题来处理．另外数列是一种特殊函数，于是通常会出现函数与数列的综合问题，除此以外，由于数列的渗透力很强，它还可以和方程、不等式、向量、三角函数等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度和难度，解决此类题目，必须对蕴含在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解. 1.基本知识 数列与平面图形的交汇 此类试题解答的关键是找规律，通过分析系列图形的变化，确定相关的线段、平面图形的周长与面积的具体变化情况，进而确定出数列模型． 数列与集合的交汇 此类试题解答的关键是分析集合中可构成数列的这些元素的构成规律，进而确定出这些具体的元素或由这些元素构成的数列的通项公式，进而利用数列知识求解． 数列与函数的交汇 主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般借助函数的性质、图象进行研究；②已知数列条件，解决函数问题，此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子进行化简变形． 数列与不等式交汇 主要是指数列不等式的证明，或与数列有关的比较大小问题，以及恒成立问题，求解时需注意放缩法的应用． 2.二级结论 常见放缩公式： （1） （2） （3） （4） （5） 核心考点1 数列中的新定义问题 （2023·陕西榆林第二中学摸底） 1. 定义为个正数的“快乐数”.若已知正项数列的前项的“快乐数”为，则数列的前项和为 A. B. C. D. 2. 若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（ ） A. B. C. D. 核心考点2 问题情境的数列问题 （2023·陕西汉中高三月考） 3. 标准对数视力表采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表由14行开口方向各异的正方形“E”形视标所组成，从上到下分别对应视力4.0，4.1，……，5.2，5.3，且从第一行开始往下，每一行“E”形视标边长都是下一行“E”形视标边长的倍，若视力4.0的视标边长为1，则视力4.9的视标边长为（ ） A. B. C. D. （2023·山东济南高三模拟） 4. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是______. 核心考点3 数列与不等式的综合问题 5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数. 核心考点4 数列与函数的综合问题 7. 已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为 A. B. C. D. 8. 如图，矩形的一边在x轴上，另外两个顶点，都在函数的图象上，若点的坐标为，矩形的周长为，则＋…＋＝________. 9. 已知数列满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足, 定义使为整数的k叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和. 10. 已知等比数列为递增数列，，是与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若项数为n的数列满足：（，2，3，…，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中，，，…，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于.记数列的前项和为，若，求k. 【类题通法】解决数列中的新定义问题的一般流程 （1）读懂定义，理解新定义数列的含义； （2）特殊分析，比如先对n＝1，2，3，…情况进行讨论； （3）通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差与等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案； （4）联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解. 考向一　以数学文化为背景的数列问题 （多选题） 11. “提丢斯数列”是18世纪由德国物理学