精品解析：重难专攻(五) 数列中的综合问题 核心考点集训

重难专攻（五） 数列中的综合问题 （2023·江西南昌豫章中学入学调研） 1. 已知“整数对”按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，则第222个“整数对”是　　 A. B. C. D. 2. 在数列中，若，(为常数)，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A. 是等方差数列 B. 若数列既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列 C. 正项等方差数列的首项，且是等比数列，则 D. 若等方差数列首项为2，公方差为2，若将，…这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码 （2023鄂东南联考） 3. 若项数为的数列满足：我们称其为项的“对称数列”．例如：数列，，，为4项的“对称数列”；数列，，，，为项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，，是公差为的等差数列，数列的最大项等于．记数列的前项和为，若，则___________． 4. 定义：若数列对任意的正整数n，都有（为常数），则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，求数列前2023项和的最小值. 5. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④，一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远?”(注释：①第节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)，问：此民谣提出的问题的答案是 A. 61.395尺 B. 61.905尺 C. 72.705尺 D. 73.995尺 6. 中国公民身份号码编排规定，女性公民顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（ ） A. 53 B. 55 C. 57 D. 59 7. 在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ） A. 11.5尺 B. 13.5尺 C. 12.5尺 D. 14.5尺 8. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________. （2023福州质检） 9. 已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（ ） A. 21 B. 38 C. 43 D. 44 （2023重庆联考） 10. 已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）. （1）求证：数列是等差数列，并求通项公式： （2）当时，求证：. 11. 某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清（即下题中“已知”后面的内容看不清），但在（1）的后面保留了一个“答案：成等差数列”的记录，具体如下： 记等比数列的前n项和为，已知___________________． ①判断的关系；（答案：成等差数列） ②若，记，求证：． （1）请在本题条件的“已知”后面补充等比数列的首项的值或公比q的值（只补充其中一个值），并说明你的理由； （2）利用（1）补充的条件，完成②的证明过程． 12. 已知数列满足对任意的都有，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 13. 已知函数的图象关于轴对称，且函数在上单调，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前21项之和为 A. 0 B. C. 21 D. 42 （2023鄂东南联考，多选） 14. 已知函数，令，，则下列正确的选项为（ ） A. 数列的通项公式为， B