精品解析：第四节 数列求和 （讲）

第四节 数列求和 一.课标要求，准确定位 1．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能运用相关知识解决与前n项和相关的问题． 2．熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，并能够利用公式求数列的前n项和． 3．掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法． 二．考情汇总，名师解读 数列求和是高考的重点考查内容，可以综合数列的概念、性质等进行考查．在选择题、填空题和解答题中都可以出现，既可以是基本运算的中等题或简单题，也可以是难度较大的综合题． 1．特殊数列的求和公式 (1)等差数列前n项和公式：Sn＝＝na1＋. (2)等比数列前n项和公式：Sn＝ 2．数列求和的几种常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)并项求和法：形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． (4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和可用错位相减法． (5)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 【二级结论】 1.常见的裂项技巧： （1）（2） （3）（4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 2. 常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝2. 核心考点1 分组求和与并项求和 1. 下列命题正确的是（ ） A. 对于，都有. B. 数列的前n项和等于. C. . D. 若在数列中，，则其前30项的和等于45. 2. 设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（ ） A. 978 B. 557 C. 467 D. 979 3. 已知数列的通项公式为，设，则数列的前200项和为（ ） A. B. 0 C. 200 D. 10000 核心考点2 裂项相消法求和 4. 数列中， ，则数列{an}的前2 024项和________. 5. 数列的通项为，其前n项和为，若，则项数________． 6. Sn＝＋＋＋…＋等于（ ） A B. C. D. 7. 已知正项数列的前n项和为，且满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 核心考点4 倒序相加求和 8. 已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 (教材改编题) 9. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则________. 考向一 “等差或等比”类型（公式法） 10. 已知等差数列公差，设的前项和为，， （1）求及； （2）求（）的值，使得. 11. (1)等比数列的前n项和，则________. (2)若数列为等比数列，且，则________. 考向二 “等差±等比”类型（分组求和法） 12. 已知等比数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. (2023·菏泽模拟) 13. 已知数列中，它的前n项和满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求． 考向三 “等差×(÷)等比”类型（错位相减法） 14. 已知等比数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. (2023·重庆模拟) 15. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答 问题：在数列{}中，已知___________. （1）求{}的通项公式 （2）若求数列{}的前n项和 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 考向四 an＝ 类型（裂项相消法） 16. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 17. 在数列中，已知，且，则数列的前n项和____. 考向五 an＝(－1)nf(n)类型或者“分段”型（合并法） 18. 设等差数列的前项和为，公差为，已知 （1）求数列的通项公式; （2）若，求数列的前项和. 19. 已知数列满足 （1）记，写出，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前2022项和. 【类题通法】抓住