精品解析：第一节 数列的概念与表示（核心考点集训）

第一节 数列的概念与表示 1. 在数列中，，则等于 A. B. C. D. 2. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（ ） A. B. C. D. （2022·全国乙卷） 3. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足以下条件，①，；②数列既不是单增数列，也不是单减数列；③.则满足条件①②③的数列的一个通项为___________.（写出满足条件的一个数列即可） 5. 设数列的前n项和为，且，则______． 6. 若数列的前项和，且，则_______ 7. 为数列前项和，若，则________. 8. 设数列前n项和为，且，，则______． （2022全国甲卷） 9. 记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 10. 已知数列满足（），且，求数列通项公式． 11. 已知数列满足（），且，求数列的通项公式． 12. 已知数列满足，且，求数列的通项公式． 13. 已知数列满足（），且，求数列通项公式． （2022新高考I卷） 14. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． （2020北京） 15. 等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 16. 在数列中，，，则数列的最大项的值是______． 17. 正项数列的前项和满足.若对于任意的，都有成立，则整数的最大值为_________________. 18. 已知数列的首项，其前项和为，且，若单调递增，则的取值范围是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一节 数列的概念与表示 1. 在数列中，，则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：已知逐一求解． 详解：已知逐一求解．故选D 点睛：对于含有的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律． 2. 九连环是我国从古至今广泛流传一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推公式逐项计算可得出，即为所求. 【详解】数列满足．且， 所以，，，，. 所以解下个环所需最少移动次数为． 故选：C． （2022·全国乙卷） 3. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解. 【详解】[方法一]:常规解法 因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设则 故D正确. 4. 已知数列满足以下条件，①，；②数列既不是单增数列，也不是单减数列；③.则满足条件①②③的数列的一个通项为___________.（写出满足条件的一个数列即可） 【答案】 【解析】 【分析】计算，分析条件③，写出满足条件①③的一个通项，验证②成立即可. 【详解】由条件①得：，由条件③知，数列具有周期性，周期为2， 于是有，，…，而， 因此，，显然数列不是单增数列，也不是单减数列， 所以满足条件①②③数列的一个通项为. 故答案为： 5. 设数列的前n项和为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系求解通项公式. 【详解】由于，当时，得到， 当时，①，又②， 由可知，②①得， 因此（），当时不满足该式，所以． 故答案为：. 6. 若数列的前项和，且，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】 时，利用求解，并验证时是否符合. 【详解】当时， 整理得 所以， 以上各式相乘得，由于，所以. 【点睛】本题主要考查利用求解通项公