精品解析：第三节 等比数列 (讲）

第三节 等比数列 一.课标要求，准确定位 1.理解等比数列的概念和通项公式的意义. 探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 3.体会等比数列与指数函数的关系. 二.考情汇总，名师解读 本考点内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查，解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查，属于中低档题. 1.等比数列的概念 （1）等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2). （2）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2.等比数列的通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：an＝a1qn－1. 该式又可以写成an＝qn，这表明q≠1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积. （2）前n项和公式： Sn＝ 当q≠1时，该式又可以写成Sn＝，这表明q≠1时，Sn的图象是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的点. 3.等比数列的性质 （1）与项有关的性质 ①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*). ②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则aman＝apaq＝. ③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd. ④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积. ⑤若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则{kan}(k≠0)仍为等比数列，且公比为q1；{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；仍为等比数列，且公比为. ⑥当{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lg an}是等差数列，首项为lg a1，公差为lg q. （2）与和有关的性质 ①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数). ②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q. ③在等比数列中，当qm≠1时，，n，m∈N*. ④在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*. 4.等比数列的单调性 （1）当a1>0，q>1或a1＜0，0<q<1时，等比数列{an}是递增数列. （2）当a1>0，0<q<1或a1＜0，q>1时，等比数列{an}是递减数列. （3）当q＝1时，它是一个常数列. （4）当q<0时，它是一个摆动数列. 【二级结论】 1三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，xq，xq3. 2. 数列{an}是等比数列， 3. 在等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同，在运用等比数列性质求某一项的值时，注意根据这一性质进行判断取舍. 4.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. （1）若a1a2…an＝Tn，则Tn，，…成等比数列. （2）若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 核心考点1 等比数列的基本运算 1. 下列命题是错误的是（ ） A. 等比数列的单调性只与q的正负有关 B. 为a，b的等比中项 C. 等比数列前n项和为 D. 如果数列是等比数列，那么，，仍是等比数列 (教材改编题) 2. 在等比数列中，，，则____；公比______. 3. 已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_________. 4. 已知等比数列中，，，，则________. 核心考点2 等比数列的判定与证明 5. “”是“，，，成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若数列是等比数列，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列等比数列 D. 数列是等比数列 7. 数列满足：，若，则_____. 8. 在数列中，，且，求. 核心考点3 等比数列的性质及其应用 (2020·全国Ⅰ卷) 9. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 (2023·黄山模拟) 10. 在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 11. 已知数