“8+4+4”小题强化训练(50)圆锥曲线的综合问题（1）定点、定值问题（原卷+解析）-2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）

2022届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(50) （圆锥曲线的综合问题（1）定点、定值问题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若AB是过椭圆 中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM､BM与两坐标轴均不平行，kAM､kBM分别表示直线AM､BM的斜率，则kAM·kBM=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ， ， ， ， 则 ， ，则 , ， 在椭圆上， EMBED Equation.DSMT4 ， ，两式相减得 ，即 ，所以 ，所以 ， 即 . 故选：B. 2.过抛物线 焦点F的直线，与抛物线交于A、B两点，设 ， ，则 （ ） A．-4 B．4 C．4 D．-4 【答案】A 【解析】设直线 的方程为 ，设 ，联立 ，消去 化为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 故选：A. 3.设F为椭圆 的右焦点，过点 的直线与椭圆C交于 两点,设直线 的斜率分别为 ， ，则 为（ ） A．-1 B．1 C．4 D．-4 【答案】B 【解析】设 ，设直线 ，代入椭圆方程可得： . 所以 .故 .又 均不为0，故 ，即 为定值 故选：B. 4.过原点的直线 与双曲线 交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设 ， ， ， 则 ， ，即有 ，即 ， 由 ， ，可得 ， 因为 ，所以 . 故选：C. 5.设抛物线 ： 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，且 ． 设直线 与抛物线 交于 、 两点，若 （ 为坐标原点）．则直线 过定点( )． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ 是抛物线 上一点，且 ．∴ ， 解得 ，即抛物线 的方程为 . 设直线 的方程为 ， ， ， 由 消去 得 ，则 ， ． 因为 ，所以 ，即 ． 化简得 ．由 得 ，所以直线 的方程为 ， 所以直线 经过定点 ．故选:C 6.已知离心率为 的椭圆 内有个内接三角形 ， 为坐标原点，边 的中点分别为 ，直线 的斜率分别为 ，且均不为0，若直线 斜率之和为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得 ，所以 不妨设为 .设 ， ， ， ， ， ， ，两式作差得 ，则 ， ，同理可得 ，所以 ， 故选：C. 7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线 交抛物线 于 ， 两点，若 ， 恰好是 的“勾”“股”（ 为坐标原点），则此直线 恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线 的方程为 ， ， ，由 得 ，由根与系数的关系可得： ， ，若 ， 恰好是 的“勾”“股”（ 为坐标原点），可得 ，所以 ，即 ，所以 ， ， 所以 ，即 ，解得 或 （舍）所以直线 的方程为 ，恒过点 ， 8.已知椭圆 的左右顶点分别为 ，过 轴上点 作一直线 与椭圆交于 两点（异于 ），若直线 和 的交点为 ，记直线 和 的斜率分别为 ，则 （　　） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【解析】设 ， ， ，设直线 的方程： 由 和 三点共线可知 ， 解得： ， ，（*） 联立 ，得 ， ， ， 代入（*）得 ， ， ， . 故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9.已知 为坐标原点，过点 作两条直线分别与抛物线 ： 相切于点 、 ， 的中点为 ，则下列结论正确的是（ ） A．直线 过定点 ； B． 的斜率不存在； C． 轴上存在一点 ，使得直线 与直线 关于 轴对称； D． 、 两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值. 【答案】BCD 【解析】设 ， ，∵ ，∴ ，∴过点 的切线方程为 ，即 ，∴ ，同理过点 的切线方程为 ，将 分别代入上式，得 ， ，∴直线 的方程为 ，∴直线 过定点 ，故A选项错误，符合题意； 联立方程 得： ， ，则 ， ，∴点 的横坐标为 ，∴ 轴，故B选项正确，不符合题意；设 ，由题意得 ， ，设直线 、 的斜率分别为 、 ， 则 ，当 时， ，即直线 与直线 关于 轴对称，C选项正确，不符合题意；∵点 到准线的距离为 ，点 到准线的距离为 ， ∴ ，D选项正确，不符合题意. 故选：BCD 10.已知双曲线 （ ， ）， ， 是其左、右顶点，