精品解析：第二节 等差数列（讲）

第二节 等差数列 一.课标要求，准确定位 1.通过实例，理解等差数列概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3.体会等差数列与一次函数的关系. 二.考情汇总，名师解读 本考点在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查，解答题往往与数列的计算、证明、数列求和、不等式等问题综合考查.难度中低档. 1.等差数列的概念 （1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示.数学语言表示为（）（或者），为常数. （2）等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且. 2.等差数列的有关公式 （1）若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为（）. （2）等差数列的前项和公式（其中）. 3.等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和. （1）等差数列中，当时， . 特别地，若，则（）. （2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为. （3）也成等差数列，其首项与首项相同，公差. （4），，…也成等差数列，公差为. （5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则 4.等差数列与函数的关系 （1）等差数列与一次函数的关系 可化为的形式.当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列. （2）等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为（，为常数）. 【二级结论】 1.在等差数列{an}中，若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 2.在等差数列{an}中，若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝. 3.在等差数列中，若，则满足的项数m使得取得最大值；若，则满足的项数m使得取得最小值. 4.等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关. ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值. ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. ③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值. 5.{an}是等差数列Sn＝An2＋Bn(A，B是常数). 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列. 6.S2n－1＝(2n－1)an. 核心考点1等差数列的基本运算 （选修二P15T4改编） 1. 已知等差数列中，，则________. 2. 已知公差为的等差数列中，，，，则________. （教材改编题） 3. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． （2022·全国乙卷） 4. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 核心考点2 等差数列的证明与判断 5. 下列命题正确的是（ ） A. 一个等差数列，要么是递增数列，要么是递减数列 B. 数列为等差数列的充要条件是对任意，都有 C. 若数列是等差数列，则数列也是等差数列 D. 若，则“A，B为常数，C为0”是“为等差数列”的充要条件 6. 已知数列，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 记为等差数列的前项和.证明：也成等差数列. 核心考点3 等差数列的性质及其应用 8. 在等差数列中，若，则________. 9. 设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列的前n项和为.若，则的最大值为________. 考向一 公式的证明 11. 证明：公差为等差数列的通项公式. 12. 证明：等差数列的前项和公式（其中）.（多种方法） 考向二 公式的应用 （2023·开封模拟） 13. 已知公差为1的等差数列中，，若该数列的前n项和，则n=（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 （2023·湖南名校联考） 14. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则S5=（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 15. 已知等差数列的前项和为.若，，则_______. 【类题通法】等差数列基本运算的常见类型及解题策略 （1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想. （2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素. （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解. （4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 提醒：在求解数列基本量的问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性.在遇到一些较复杂的方程