精品解析：第四节 数列求和 核心考点集训

第四节 数列求和 核心考点集训 1. 已知数列满足，求数列的前n项和． （2021新高考I卷） 2 已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 3. 已知数列满足 求数列的前n项和． 4. 已知数列满足，求数列前n项和． 5. 已知数列满足，且，求数列的前2023项和S． 6. 已知数列满足，求数列的前n项和． 7. 已知数列满足，求数列的前n项和． 8. 已知数列满足，求数列的前n项和． 9. 已知数列满足，求数列的前n项和． 10. 已知数列{an}，{bn}，{cn}中，． （Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：． （2021新高考I卷） 11. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. （2021全国乙卷） 12. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 13. 若，，求数列的前n项和． 14. 记正项数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 辽宁省锦州市2022-2023学年高二下学期期末】 15. 已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______． 【广西壮族自治区玉林市2023届高三三模】 16. 已知函数，若函数，数列为等差数列，，则______． 17. 已知函数． （1）求证：函数的图象关于点对称； （2）求值． 18 已知，，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四节 数列求和 核心考点集训 1. 已知数列满足，求数列的前n项和． 【答案】 【解析】 【分析】先分析的正负，当时采用分组求和法，转化为等差数列求和问题. 【详解】因， 所以当时，， ， 当时，， 当时，， 当时， . 综上所述， （2021新高考I卷） 2. 已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 3. 已知数列满足 求数列的前n项和． 【答案】 【解析】 【分析】分n为奇数，n为偶数两种情况讨论，求和时将分成两组，一组为等比数列求和，一组为等差数列求和． 【详解】当n为奇数时， ． 当n为偶数时， ． 综上所述， 4. 已知数列满足，求数列的前n项和． 【答案】 【解析】 【分析】由，将分成两组，一组等比数列求和，一组为裂项相消求和． 【详解】因为 ， 所以 . 5. 已知数列满足，且，求数列的前2023项和S． 【答案】1013 【解析】 【分析】先得到数列是周期为3的周期数列，然后将每连续三项合并在一起求和（并项求和法）. 【详解】因为，且， 所以，，，…， 由， 故数列是周期为3的周期数列， 所以 . 故答案为：1013. 6. 已知数列满足，求数列的前n项和． 【答案】． 【解析】 【分析】根据裂项式，进行裂项相消求和