精品解析：第四章 三角函数与解三角形 第三节 三角恒等变换 第二课时 简单的三角恒等变换（讲）

第三节 三角恒等变换 第二课时 简单的三角恒等变换 一.课标要求，准确定位 1.能用两角和、差公式及倍角公式进行简单的三角恒等变换； 2.掌握辅助角公式的应用； 3.了解积化和差、和差化积公式. 二.考情汇总，名师解读 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用．从中可体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用． 二级结论】 1、半角公式 ；；. 2、辅助角公式 （其中）. 3、拓展延伸 ①. ②. ③. 核心考点1 三角函数式的化简 1. （多选）下列结论正确的是（ ） A. 半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的 B. 存在实数，使 C. D. 2. 化简计算： _____________. 核心考点2 三角函数式的求值 3. （ ） A. B. C. D. （教材改编题） 4. 下列化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 核心考点3 三角恒等变换的综合应用 5. 已知，，，则 A. B. C. D. 6. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用害圆术以正边形，求出圆周率约，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 化简：＝________. 8. 化简________. 9. 化简(tan10°－)·＝________. 【类题通法】三角函数式化简“三看”原则 三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 考向一 给角求值 10. （ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 11. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. （ ） A 1 B. C. D. 【类题通法】给角求值问题的基本思路 观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为： （1）特殊角的三角函数值； （2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值； （3）可约分的项和特殊角的三角函数值等. 考向二 给值求值 （江西省九江市2023届高三三模） 13. 已知，且，则cosβ=（ ） A. B. C. D. 0 14. 已知，则______ 15. 若，，则的值为________． 【类题通法】给值求值问题的解题策略 （1）将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件，然后用代入法求出三角函数式的值，也可以将所求的函数式经过适当的变形，再利用条件求值； （2）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键:把“所求角”用“已知角”表示. 考向三 给值求角 16. 已知，，若，则________． 17. 已知，且，则的值为_____ 18. 在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则的值为________． 19. 若，且，则的值为___________. 【类题通法】给值求角的技法 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则: （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数. ①若角的范围是，选正、余弦函数皆可； ②若角的范围是，选余弦函数； ③若角的范围为，选正弦函数. 考向一 研究三角函数性质 20. 在中，角、、所对的边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若，求的最大值． 21. 已知，，. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，若，，求sinβ的值. 【类题通法】三角恒等变换与三角函数综合问题的求解策略 （1）进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用； （2）形如化为（其中），可进一步研究函数的周期性、单调性、对称性与最值. 考向二 研究三角形 22. 在中，若，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 （2023·安徽宿州·统考一模） 23. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）求的取值范围. 24. 已知函数，x∈R，且f(x)的最大值为1. （1） 求m的值，并求f(x)的单调递增区间； （2）在△AB