精品解析：第三章 重点专攻二 不等式的证明问题（讲）

重点专攻（二） 不等式的证明问题 一.课标要求，准确定位 1.会合理构造函数并结合导数证明不等式； 2.了解含有与的不等式证明技巧. 二.考情汇总，名师解读 导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法. 【二级结论】 一、常见的构造函数模型 1. 关系式为“加”型： ①，构造函数； ②，构造函数； ③，构造函数； ④，构造函数. ⑤，构造函数. 2. 关系式为“减”型： ①，构造函数； ②，构造函数； ③，构造函数. ④，构造函数. ⑤，构造函数. 二、常用的放缩不等式 1. 指数型 ①指数“0”线（ 时等号成立） ；；； ②指数“1”线（ 时等号成立） ；. ③指数均值不等式 . 2. 对数型 ①对数“0”线（ 时等号成立） . ②对数“1”线（ 时等号成立） ；. ；. ③对数“”线（时等号成立） ④对数均值不等式 3. 三角型 ；；；. 4. 数列型 ①分式型 ；. ②根式型 ；. ③分数型 . ④基本不等式型 ； ⑤二项式定理型. 核心考点1 单变量型不等式证明 1. 若则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数. （1）求该函数在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 核心考点2 双变量型不等式证明 3. 若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（　　） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 核心考点3 数列型不等式证明 5. 已知函数. （1）证明：时，； （2）证明： 6. 已知函数，其中且． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数） 7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 求证：当时，． 9. 设是定义在上的非负可导函数，且满足，当时，证明:. 10. 设函数f（x）=x+a+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2. （I）求a，b的值； （II）证明：f(x)≤2x-2． 11. 已知函数．求证：当时， 12. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：. 【类题通法】单变量型不等式证明方法 1.同构关系构造函数：在分析、化简、变形的基础上，找到相同的结构关系，进而构造新函数. 2.求导法则构造函数：已知条件中有含导函数的不等式时，可结合求导法则来构造函数.如，可构造函数. 3.移项作差构造函数：证明不等式转化为证明，构造辅助函数利用导数判断单调性，转化为函数极（最）值问题处理. 4.分离转化构造双函数：将求证的不等式变形分离成的形式，构造两个函数、，则问题等价转化为证明，故只要证明即可.注意：此处与取到最值的条件不一定是同一个“的值”． 构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则. 13. 已知，其中图像在处的切线平行于轴 （1）确定与的关系 （2）设斜率为的直线与的图像交于，求证： 14. 已知函数． （1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围； （2）如果函数恰有两个不同的极值点，证明：． 15. 已知函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）设，证明：对任意，． 16. 已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （Ⅲ）如果，且，证明 17. 已知函数， （1）求的极值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）已知，，且，求证：． 18. 已知函数. （Ⅰ）当时，求的最小值； （Ⅱ）证明：当时，恒成立. 19. 已知，试比较与的大小，并证明. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 【类题通法】双变量型不等式证明方法： 1.双变量型 （1）整体换元构造函数：通过整体换元，将两个变量换元成一个变量.常见换元如等. （2）同构关系构造函数：变量分离后若结构相同，可依据相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式. （3）自变量转函数值法：利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系. 2.双变量为型（为参数）变更主元法：转换视角，将参数作为主要自变量（简称主元），把 看作常数，构造关于的函数. 3.双变量为型（为参数）指定主元法：指定其中一个参数为主元，把另一个参数看作常数，构造以该参数为自变量的函数. 21. 已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C.