精品解析：第三章 重点专攻二 不等式的证明问题（核心考点集训）

重点专攻（二） 不等式的证明问题（核心考点集训） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（    ） A B. C. D. 3. 已知函数()． （1）若函数有两个极值点，求的取值范围； （2）证明：当时，． 4. 已知函数，若恒成立， （1）求实数的取值范围； （2）当时，证明：. 5. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，． 6. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）设，且，证明： 8 已知函数． （1）求证：在和上都是增函数； （2）设且，，求证：． 9. 已知函数. （1）若函数的图象与x轴有交点，求实数a的取值范围； （2）若方程有两个根，且，求证：. 10. 设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题: ①若对任意的正整数均有,则为和谐数列; ②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值; ③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列． 以上3个命题中真命题个数有( )个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知数列中，，若，则下列结论中错误是（ ） A B. C. D. 13. 已知数列满足，满足，，则下列成立的是（ ） A. B. C. D. 以上均有可能 14. 已知正项数列满足：，设，则（ ） A. B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点专攻（二） 不等式的证明问题（核心考点集训） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析单调性即可得出；由，可得，进而求解. 【详解】设， 所以，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，得. 所以，即； 又，所以，即， 所以. 故选：B. 2. 若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（    ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造并求导，判断单调性，即可得结果. 【详解】令，则恒成立，故在上单调递增． ， ，即． 故选：A 3. 已知函数()． （1）若函数有两个极值点，求的取值范围； （2）证明：当时，． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意转化为有两个变号零点，再参变分离后得，利用图象求的取值范围；（2）首先构造函数()，求函数的二次导数，分析函数的单调性，并求函数的最值，并证明不等式. 【详解】（1）的定义域为，， 若函数有两个极值点，则有两个变号零点， 等同于， 即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)， 令，的定义域为，则，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递减， 则为的极大值，也为最大值， 当时，， 当时，， 当时，且为正数， 则的图像如图所示，则此时； （2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可， 则，令， 则， 当时，，，， 则，则在时单调递增， 又， ∴时，，则在时单调递增， ∴当时，即当时，． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 其中一种重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口. 4. 已知函数，若恒成立， （1）求实数的取值范围； （2）当时，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）问题转化为在上恒成立，不等式右边构造函数，利用导数研究单调性，并求出其最大值，即可得参数范围； （2）由（1）知，应用分析法，将问题化为证恒成立，讨论、，利用导数研究单调性并确定区间符号，即可证结论. 【小问1详解】 由题设在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上递增，显然，， 故使，则上，上， 所以上，递增；上，递减； 又，即，则， 综上，. 【小问2详解】 由（1）知：， 所以且，要使恒成立， 只需证恒成立，只需证恒成立， 当时，若，则，即递增，又也递增， 所以在上递增，故恒成立， 当时，令且，则，即递增，故， 所以在上恒成立，故， 令，则， 所以在上递减