精品解析：第三章 重难专攻(一) 不等式中的恒(能)成立问题 （讲）

重难专攻(一) 不等式中的恒(能)成立问题 一.课标要求，准确定位 1.证明不等式恒成立或在不等式恒成立（能成立）的条件下，会求参数的取值范围. 2.善于利用导数作为研究函数单调性的有力武器，在这类问题中发挥了巨大的作用. 二．考情汇总，名师解读 1.“不等式恒（能）成立问题”是高考的热点内容，其频繁出现在历年的高考中，这类题把不等式、函数、导数等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐. 2.在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用. １.一次函数为背景：设，则： ①若在恒成立，则 ②若在恒成立，则 ③若在上有零点，则； 2.二次函数为背景：设，则： ①若在R上恒成立，则或 ②若在R上恒成立，则或 ③若 (或< 0)在集合上恒成立，利用对称轴进行讨论，或考虑用分离参数法． 3.复杂函数为背景： ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法) 方法二：在无实数解或有解也只能是偶次重根(或说()无极值点)． ④若是区间上的单调函数，则是区间上的单调函数，且（或）恒成立． ⑤若在上存在递增或递减区间，则或在上有解．（或利用不存在去转化．） ⑥在上不是单调函数，则在有解且解不全为偶次重根（或说有极值点）．（或用补集思想解） 4． 双变量等式问题： ①，使得方程成立． ②，使得方程成立． 5．双变量不等式问题： ①，； ②，； ③，； ④，． 【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数． 6． 绝对值函数为背景： ①． (①②两种方法的关键都是先确定的值域!) ②． (范围相加!) ７.指对数的运算性质相关的恒等式： （1） 且时，有 （2） 当 且时，有 ８.结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论：（其中） （1） （2） （3） （4） ９.结合常用的切线不等式， 等，可以得到更多的结论： （1）； （2）； 【二级结论】 1.最值定位法解决双参不等式问题 （1），，使得成立 （2），，使得成立 （3），，使得成立 （4），，使得成立 2值域法解决双参等式问题 ，，使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则，求出参数取值范围. 3. 端点效应 ①如果函数满足，，且，则． ②如果函数满足，，且，则． ③如果函数满足，，且，则． ④如果函数满足，，且，则． 4．中间点效应 ①如果函数满足，，且，其中，则，且． ②如果函数满足，，且，其中，则，且． 核心考点1 不等式恒成立 1. 设函数的导函数为，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，．若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 核心考点2 不等式能成立 3. 已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 核心考点3 不等式的证明 (2023·广西玉林摸底) 5. 已知，都是正整数，且，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.） （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意的，当时，. 核心考点4 双变量不等式 （2022·全国·高二） 7. 已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 9. 已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. (2023·柳州模拟) 10. 已知函数.若为函数f(x)的极值点，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 11. 已知函数，当时，若对任意的，都有恒成立求的取值范围. 12. 已知函数，，其中，为自然对数的底数.若不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【类题通法】 1、分离参数法：用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 参变分离的使用条件：①参数与变量可以比较容易地分离开，②参变分离后得到的函数的形式不复杂，通过导数来研究单调性，极值以及最值比较容易，③参变分离后得到的函数的值域容易算，不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形． 2、分类讨论法：如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解