精品解析：第三章 重难专攻(一) 不等式中的恒(能)成立问题 核心考点集训

重难专攻（一） 不等式中的恒（能）成立问题 1. 已知函数（），．若恒成立，求k的取值范围． 2. 已知函数（）．当时，不等式恒成立，求的取值范围． 3. 已知函数．若对任意，有恒成立，求实数a的取值范围． 4. 已知函数，（）．设，若对，恒成立，求实数a的取值范围． 5. 已知函数，若，，使得成立，则实数k的取值范围为_______． 6. 已知函数．若存在，使成立，求a的取值范围； (2023·河南洛阳摸底) 7. 已知函数在处取得极值4． （1）求a，b的值； （2）若存在，使成立，求实数取值范围． 8. 已知函数．若存在，使得成立，求实数最小值． 9. 已知函数．已知，，求证：． 10 已知函数，．当，时，求证：． 11 设，， ．证明：当时，． 12. 若对，，不等式恒成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数，，且，，恒成立，则实数a的取值范围是________． 14. 设函数 ()．设，若对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 15 已知函数，．任取两个正数，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难专攻（一） 不等式中的恒（能）成立问题 1. 已知函数（），．若恒成立，求k的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】利用分离参数整理含参不等式，并构造函数，利用导数求其最值，根据导数的解析式，构造函数，再次求导，根据导数的取值范围，明确新函数的单调性，利用零点存在性定理，结合隐零点的思路，可得答案. 【详解】因为恒成立，所以，由，所以恒成立， 构建函数，所以． 构建函数，所以，函数单调递减． 因为，，所以存在，使得， 所以当时，，，函数单调递增， 当时，，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 因为，所以， 又函数（）单调递增，且，所以，所以，， 所以，所以k的取值范围为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用， 二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 2. 已知函数（）．当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先由时，，得.再验证当时，不等式在上恒成立即可，构造函数，得其导函数，分析函数的单调性和最值，即可得解. 【详解】因为当时，不等式恒成立，所以，所以， 所以要证，只需证，即证． 构建函数，， 所以， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 所以当时，函数取得极大值． 因为，所以， 所以当时，，所以当时，不等式恒成立． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为. 3. 已知函数．若对任意，有恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先将问题转化为恒成立问题，再构造及，利用导数研究两者单调性，从而分类讨论的取值范围即可得解. 【详解】因为对任意的，有恒成立， 所以对任意的，有恒成立． 当时，令得，矛盾； 当时，构造函数，则， 构造函数，则， 所以当时，，函数单调递减，所以． 当时，，当x→时，由三次函数的性质可知，所以函数在上有一零点， 所以当时，，，函数单调递增， 所以，矛盾； 当时，当时，， 所以当，，函数单调递减， 所以当时，， 所以对任意的，有恒成立； 综上所述，实数a的取值范围为． 4. 已知函数，（）．设，若对，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】求函数导数并化简，构造函数，分类讨论可得出结果． 【详解】因为， 所以， 所以．构造函数． 当时，，所以在上单调递增， 所以，，函数单调递增， 因为，所以，． 当时，令，，， 所以函数有两个零点，，且满足， 所以当时，， 所以，函数单调递减； 故当时， ，与，矛盾． 综上所述，实数a的取值范围为． 5. 已知函数，若，，使得成立，则实数k的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】参变分离可得，，借助于导数求解最值，同时注意讨论和． 【详解】解：，即， 当时显然不成立，即在时不满足原式， 当时，整理得： 令，，则， ∵当时，，， 则当时恒成立， ∴在上单调递减，则 则，即 综上所述：实数的取值范围为 故答案为： 6. 已知函数．若存在，使成立，求a的取值范围； 【答案】 【解析】 【分析】先应用参数分离得出,再设新函数二次求导确定单调性及最小值即可得. 【详解】由，得，，即能成立， 令，， 则， 设，， 则， ∴φ(x)在上单调递增，