精品解析：第三节 导数与函数的极值、最值（讲）

第三节 导数与函数的极值、最值 一.课标要求，准确定位 1．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系． 二．考情汇总，名师解读 考查函数的极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大．如2021（Ⅰ）中的第15题，考查了利用导数求函数的最值．重点考查直观想象、逻辑推理和数学运算学科素养. 1、函数的极值 （1）函数极值的定义：一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. （2）函数在某点取得极值的必要条件和充分条件： 一般地，函数y＝f （x）在某一点的导数值为0是函数y＝f （x）在这点取得极值的必要条件． 可导函数y＝f （x）在x＝x0处取极大（小）值的充分条件： ①f ′（x0）＝0； ②在x＝x0附近的左侧f ′（x0）>0（<0），右侧f ′（x0）<0（>0）． （3）导数求极值的方法： 解方程f ′（x）＝0，当f ′（x0）＝0时，如果在x0附近的左侧f ′（x）>0，右侧f ′（x）＜0， 那么f （x0）是极大值；如果在x0附近左侧f ′（x）＜0，右侧f ′（x）>0，那么f （x0）是极小值． 注意　对于可导函数f （x），“f ′（x0）＝0”是“函数f （x）在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近（即局部）而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得. 【二级结论】 1.有极值的函数一定不是单调函数. 2.如果函数f（x）在（a，b）上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值. 3. 对于可导函数f（x），“f′（x0）＝0”是“函数f（x）在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 4.若函数f（x）在区间[a，b]内是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值；若函数f（x）在开区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 核心考点1 利用导数求函数的极值 1. 判断下列命题正确的是（ ） A. 函数的极小值一定比极大值小． B. 对于可导函数，若，则为函数的一个极值点． C. 函数在内单调，则函数在内一定没有极值． D. 三次函数在R上可能不存在极值． 2. 设函数f(x)＝xex＋1，则（ ） A. x＝1为f(x)的极大值点 B. x＝1为f(x)的极小值点 C. x＝－1为f(x)的极大值点 D. x＝－1为f(x)的极小值点 （教材改编题） 3. 如图是的导函数的图象，则的极小值点的个数为__________. 4. 函数有极值，则实数a的取值范围是________． 核心考点2 利用导数求函数的最值 5. 函数在区间上的最大值是___________. 6. 若函数在上的最大值为4，则m＝________. 核心考点3 用导数解决生活中的优化问题 7. 甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v3元.为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶. 核心考点4 函数的极值、最值的综合应用 8. 已知是的极值点，则在上的最大值是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 考向一 函数图象与极值（点）的关系 （2023·华南师大附中模拟） 10. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　） A. 当时，取得极小值 B. 在上单调