精品解析：第二节 导数与函数的单调性（讲）

第二节 导数与函数的单调性 一.课标要求，准确定位 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 二．考情汇总，名师解读 会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大． 【二级结论】 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解. ３．构造函数解抽象不等式 （1）对于不等式f ′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f (x)－kx＋B． （2）对于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝xf (x)；对于不等式xf ′(x)－f (x)>0，构造函数． （3）对于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，构造函数g(x)＝xnf (x)；对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，构造函数． （4）对于不等式f ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝exf (x)；对于不等式f ′(x)－f (x)>0，构造函数. （5）对于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)sin x；对于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)cos x. 核心考点1 函数的单调与导数的关系 1. 下列命题是正确为（ ）个 （1）若函数在内单调递减，则一定有. （2）若函数在某一范围内导数的绝对值越大，那么函数在这个范围内变换得就越快，此时函数的图象就会更“陡峭”(向上或向下)． （3）在内，且的零点有有限个或可列个，则在上为增函数． （4）若函数在上存在单调递减区间，则当时，有解． （5）若函数在区间内是增函数，则实数a的取值范围是． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 核心考点2 求函数的单调区间 (选修二P97T2改编) 3. 函数的单调递增区间是________. (教材改编题) 4. 函数的单调递减区间为_____________. 5. 如图是图像，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 核心考点3函数单调性的讨论 6. 已知函数，讨论的单调性． 7. 已知函数，.讨论的单调性. 核心考点4 函数单调性的应用 (教材改编题) 8. 若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围为__________. 9. 已知函数函数，，则，，的大小关系为________________．(用“<”连接) 考向一 具体函数的单调区间 10. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. (2023·四川内江诊断测试) 11. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. (2022·河南郑州三模) 12. 函数的单调递增区间是____；单调递减区间是_____. 13. 若函数，则函数的单调递减区间为________. 【类题通法】 利用导数求函数单调区间的3种情况 导函数不等式可解时 解不等式f'(x)>0或f'(x)<0求出单调区间 方程f'(x)=0可解时 解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间内f'(x)的符号，从而确定单调区间 导函数的方程、不等式都不可解时 根据f'(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f'(x)的符号，从而确定单调区间 考向二 含有参数的函数的单调性 (2021·全国乙卷节选) 14. 讨论函数的单调性. 15. 已知函数，若，讨论的单调性. (2023·四川遂宁摸底) 16. 讨论函数的单调性． 【类题通法】分类讨论思想解决含参数函数单调性问题 利用导数求含参数函数的单调区间时，基本策略是分类讨论，注意以下几点: （1）注意确定函数的定义域，在定义域的限制条件下研究单调区间； （2）注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负)，这往往是分类讨论的出发点； （3）注意结合解含参数不等式中分类讨论