精品解析：第二章 函数的概念与性质 第三节 函数的奇偶性和周期性 (讲）

第三节 函数的奇偶性和周期性 一.课标要求，准确定位 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用． 二.考情汇总，名师解读 1.函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，常考常新.这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为烦琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果． 2.一般作为选择填空较基础的题出现时，往往利用奇偶性的定义与性质即可解决.但作为压轴选择或填空出现时，考察的知识会比较综合甚至会涉及导数，这要求学生要有较高的函数素养. 【二级结论】 1.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2.常见的偶函数有（且），，，等， 常见的奇函数有（且），，，，（且），（且）等. 3.偶函数的一个重要性质：它能使自变量化归到上，避免分类讨论. 4.奇函数的一个重要性质：若奇函数在0处有定义，则. 5.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． (4)若，则. 6.对称性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若，则函数数有对称轴 (2)若则函数有对称中心. 易混淆点：函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性， 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性. 7奇偶性与单调性综合常用结论 ①若奇函数在R上单调递增，则; ②若奇函数在R上单调递减，则. ③若奇函数在上单调，则在上也单调，且单调性相同; ④若偶函数在上单调，则在上也单调，且单调性相反. 核心考点1 判断函数奇偶性 1. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 核心考点2 函数奇偶性应用 3. 若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 核心考点3 奇、偶函数图象特征 5. 函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 核心考点4 周期性与对称性 7. 已知，函数都满足，又，则______． 8. 已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则______． 9. 若函数为奇函数，，且在区间上单调递减，则不等式的解集为______． 考向一 具体函数奇偶性 10. 判断下列函数的奇偶性． （1）； （2）； （3）； （4） 考向二 抽象函数奇偶性 11. 设函数的定义域为，对任意x，，恒有成立，则是______（填“奇”或“偶”）函数． 12. 已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 考向三 多项式函数的奇偶性 13. 若是定义在上的奇函数，则实数的值是____． 14. 已知函数，且，则______． 【类题通法】函数奇偶性的判定的三种常用方法 1．定义法： 2．图象法： 3．性质法：有相同的定义域，则 补充：多项式函数的奇偶性结论 ①多项式函数是偶函数时，奇次项系数为0，只有偶次项; ②多项式函数是偶函数时，偶次项系数为0，只有奇次项. 考向一 求函数值 15. 已知函数奇函数，且当时，有，则______. 16. 已知函数，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考向二 求解析式 17. 已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 考向三 求参数 18. 已知函数是偶函数，则______. 19. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【类题通法】利用函数奇偶性可解决的问题及解题方法 考向一 函数单调性与奇偶性 20. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 21. 函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 22