精品解析：第二章 函数的概念与性质 第二节 函数的单调性与最值（讲）

第二节 函数的单调性与最值 一.课标要求，准确定位 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值. 3.能够利用函数的单调性解决有关问题. 二.考情汇总，名师解读 函数的单调性、最值及其意义在高考中占有较高地位，一直是考试的热点.单调性经常与奇偶性综合出题，以小题形式出现的较多；在函数大题中往往都会涉及单调性，特别是与导数结合；单调性和最值是密不可分的，单调性及最值的几何意义也时常出现，这种题往往有一定的技巧性. 【二级结论】 1.设，.函数单调性定义的等价形式. ①或在区间上是增函数； ②或在区间上是减函数. 2.函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性． 3.k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反． 4.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，的单调性相反． 5.公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 6.若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数． 7.复合函数单调性的判断方法：若内层函数g(x)与外层函数f(x)单调性相同，则复合函数为增函数；若内层函数g(x)与外层函数f(x)单调性相反，则复合函数为减函数．简称“同增异减”． 8.对勾函数单调性：（，）的单调性： 在和上单调递增，在和上单调递减． 核心考点1 判断函数单调性 1. (多选)下列结论错误的是（ ） A. 因为，则在上是增函数． B. 函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为． C. 若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数． D. 函数的单调递减区间是． 2. 下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 核心考点2 求函数单调区间 4. 函数的单调递减区间是________. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. （–∞，2] B. [2，+∞） C. [0，2] D. [0，+∞） 核心考点3 求函数最值 6. 函数f (x)＝的最大值为________． 7. 函数在上的最小值为________，最大值为________. 核心考点4 函数单调性的应用 8. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________． 9. 已知函数f (x)＝2 021x－2 021－x＋1，则不等式f (2x－1)＋f (2x)>2的解集为____________． 10. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． (教材改编题) 11. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 核心考点5 最值的应用 12. 已知函数，，并且函数最小值为,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. 1或3 14. 对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 考向一 具体函数的单调性 15. 函数的单调减区间是______． 16. 已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的(  ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 17. 已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 考向二 抽象函数的单调性 18. 已知函数对于任意，总有，且时，. （1）求证：在上是奇函数； （2）求证：在上是减函数； （3）若，求在区间上的最大值和最小值. 【类题通法】 1.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法：按照取值、作差变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； (2)图象法：对于熟悉的基本初等函数(或由基本初等函数构成的分段函数)，可以通过利用图象来判断单调性； (3)导数法：利用求导的方法(如含有ex，ln x的超越函数)判断函数的单调性； (4)复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用复合函数的单调性法则(同增异减)来确定单调性． 2.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 考向一 比大小 (2023·南通模拟) 19. 已知函数，若，，，则有（ ） A. B. C. D. 考向二 求参数 20. 已知函数在区间上单调递增，则（