精品解析：第五节 基本不等式【讲】（1）

第五节 基本不等式【讲】（1） 一.课标要求，准确定位 1.掌握基本不等式≤ (a，b>0)及其推导过程． 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 3.理解基本不等式在实际问题中的应用. 二．考情汇总，名师解读 本节是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件. 【二级结论】 1.常用的几个结论 (1)若x≠0，则≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立． (2)若ab≠0，则≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立． (3)若ab>0，x≠0，则≥2，当且仅当x＝±时，等号成立． (4)若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立． (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 2.利用基本不等式求最值的两个常用结论 (1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2. (2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若＋＝1，则有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2. 核心考点1 利用基本不等式求最值 1. （多选题）下面结论错误的是（ ） A. 不等式与成立的条件是相同的. B. 函数的最小值是2 C. 函数，的最小值是4 D. “且”是“”的充分条件 2. 下列不等式证明过程正确的是（ ） A. 若，则 B. 若x＞0，y＞0，则 C. 若x＜0，则 D. 若x＜0，则 3. 已知，则的最大值是_________ 4. 若，，且，则的最小值是____________． 核心考点2 利用基本不等式求参数或范围 5. 当时， 的最小值为10，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 6. 若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 核心考点3利用基本不等式比较大小 7. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号) ①；②；③；④. 核心考点4利用基本不等式解决实际问题 9. 若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2． 10. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 核心考点5 基本不等式与其他知识交汇 11. 已知，若依次成等比数列，则的最小值为________． 12. 若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为____． 考向一 证明：基本不等式≤ (a，b>0)（用两种方法：代数法和几何法） 考向二 直接用基本不等式求最值 13. 已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为_______. 14. 若，则的最小值为____________． 15. ，的最大值为_________. 16. 若，，则的最小值为___________. 【类题通法】 在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．基本不等式具有“积式”与“和式”的互化功能，为了达到求最值的目的，有时需多次使用不等式，但不要忽视每次取等号的条件应是相同的. 考向三 利用配凑法求最值 17. 已知（），则的最大值是________. 18. 已知，则的最大值为________. 19. 函数的最小值为___________. 20. 已知，则的最小值为___________. 【类题通法】 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋ (a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的．拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 考向四 常值代换法求最值 21. 已知正数x、y满足x＋2y＝1，求的最小值为____________； 22. 已知正数x、y满足，求的最小值为____________. 23. 已知正数x、y满足，求的最小值为____________； 24. 已知正数、满足，则的最小值为__________. 25. 已知，，，则的最小值为_____． 26. 若，且，则的最小值为_______； 27. 若实数x、y满足，则最大值是______． 【类题通法】 常值代换法：当式子中含有两个变量，且条件和所求的式子分别为整式和分式时，当整式或分式有一个为定值时，常构造出(ax＋by)· (a，b，m，n为常数)的形式，利用(ax＋by)·＝am＋bn＋＋≥am＋b