精品解析：第三节 等式性质与不等式性质【讲】（2）

第三节 等式性质与不等式性质【讲】（2） 考向一　作差法证明不等式 1. 已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 2. （1）设，，．试比较P与Q的大小． （2）已知，，求证：． 考向二　比商法证明不等式 3. 若，求证：． 4. 设，比较与的大小 考向三 中间值证明不等式 5. 已知函数， （1）证明 ：； （2）证明：． 6. 证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 类题通法】 考向一 直接法 （2023·福建三明市模拟考） 7. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若则. B. 若则. C. 若，则 D. 若，则 [人A必修一P39探究变式] 8. [多选]下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 考向二 特殊值法 9. （1）若，且，能否判断与的大小？举例说明． （2）若，且，能否判断与的大小？举例说明． 10. （1）若，且，能否判断与的大小？举例说明． （2）若，，且，，能否判断与的大小？举例说明 【类题通法】利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 （1）直接法:对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的，只需举出一个反例即可. （2）特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单，便于验证计算;三是所取的值要有代表性. 考向一 求代数式取值范围 11. 设，，则的取值范围是_____，的取值范围是____. 12. 已知，则的取值范围是__________． 13. 若实数，满足，则的取值范围为 __． 考向二 恒成立、存在性问题 14. 已知关于的一元二次不等式的解集为R，求m． 15. 不等式有解，求a. 【类题通法】根据不等式的性质求取值范围的策略 （1）严格运用不等式性质，注意其成立的条件. （2）同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围. （3）建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 【微点解读】在涉及不等式的问题中，时刻谨记注意查看或者讨论字母与“0”的纠葛，避免出错 16. 对于非零实数，如果，否一定有？ 17. 若则一定有 A. B. C. D. 【微点解读】求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 18. 已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？ 19. 设，，，则范围是____________. Q 20. 已知a，b为不相等的实数，记，则M与N的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 21. 已知，则（ ） A. B. C. D. 22. 若，，则下列结论正确的是（　　） A B. C. D. 23. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 24. 若正实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. [人B必修一P81习题2-2B第3题变式] 25. 已知，，分别求，，，的取值范围． 26. 若实数x、y满足，，则的取值范围是？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三节 等式性质与不等式性质【讲】（2） 考向一　作差法证明不等式 1. 已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】将不等关系表示为不等式，进而由作差法证明即可. 【详解】解： . 证明: ， ，，. 2. （1）设，，．试比较P与Q的大小． （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接作差化简得，则； （2）利用不等式的性质与推论或者直接作差通分有，再进行符号分析即可得到答案. 【详解】（1）解： ∵，∴，∴． （2）方法一 证明：∵，∴，∴ 又，∴． 方法二 证明： ∵，，∴，∴ 又，∴，∴，即. 考向二　比商法证明不等式 3. 若，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 4. 设，比较与的大小 【答案】 【解析】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 考向三 中间值证明不等式 5. 已知函数， （1）证明 ：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构