精品解析：第五节 基本不等式 A素养养成卷

第五节 基本不等式　 A素养养成卷 一．选择题. 1. 已知，，，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 2. 下列函数中，最小值为2的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 （2021·新高考全国Ⅰ） 4. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 《几何原本》卷2几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. [2023重庆南开中学质检] 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. D. 二．多选题 [人A必修一P45例2变式] 8. 若正实数a，b满足则下列说法正确的是（ ） A. ab有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值2 D. 有最大值 9. 设，，则下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. [2023湖北襄阳五中测试] 10. 已知，且，则下列结论中正确是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值3 C. 有最小值 D. 有最大值4 三．填空题 [人B必修一P80练习B第1题变式] 11. 已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________. 12. 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝______厘米． 四．解答题 13. （1）当时，求函数最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； [2023重庆巴蜀中学适应性考试] 14. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 [人A必修一P58复习参考题2第5题变式] 15. 已知，，，则的最大值为______的最小值为______． [苏教必修一P54练习第5题变式] 16. 已知为锐角，利用直角三角形三边的关系，证明：． [多选][2022山东日照检测] 17. 设，且不等式恒成立，则实数可取（ ） A. B. C. D. 18. 若实数x，y满足，且，则的最小值是_______________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五节 基本不等式　 A素养养成卷 一．选择题. 1. 已知，，，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：. 【详解】∵，，， ∴，当且仅当a＝b＝1时，取等号. 故选：A. 2. 下列函数中，最小值为2的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】当时，，故A错误； ，当且仅当， 时取等号，又，故B错误； ，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确； 当时，sin x∈（0，1），， 当且仅当，即sin x＝1时取等号， 因为sin x∈（0，1），故D错误． 故选：C. 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案 【详解】解：因为，所以 因为 所以， 当且仅当即时，取等号， 故的最小值为6， 故选：C （2021·新高考全国Ⅰ） 4. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】