精品解析：第七章 随机变量及其分布 讲核心 01

第七章 随机变量及其分布 1. 条件概率与全概率公式 （1）条件概率 ①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称________. ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则________. （2）条件概率的性质：设P（A）>0，则 ①P（Ω|A）＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝________； ③设和B互为对立事件，则P（|A）＝________. （3）全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝________，我们称这个公式为全概率公式. 2. 离散型随机变量及其分布列 （1）随机变量与离散型随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为_______. 可能取值为_______或可以________的随机变量，我们称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. （2）概率分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值的概率，为X的概率分布列，简称_________. 其性质有： ①，； ②_____ （3）两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”，定义如果，则_________，那么X的分布列如表所示. X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或分布. 3. 离散型随机变量的数字特征 （1）离散型随机变量的均值 ①定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E（X）＝_________________为随机变量X的均值或________，数学期望简称______. ②意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的________，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的________. ③性质：若X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b（其中a，b为常数）也是随机变量，且E（Y）＝E（aX＋b）＝________. （2）离散型随机变量的方差 ①定义：设离散型随机变量X的分布列为， X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D（X）＝____________＝为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的______，记为σ（X）. ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方（xi－E（X））2关于取值概率的加权平均. 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的__________. 方差或标准差越小，随机变量的取值越_______；方差或标准差越大，随机变量的取值越_______. ③性质：D（X）＝＝－（E（X））2＝E（X2）－（E（X））2；D（aX＋b）＝a2D（X）. （3）关于均值、方差的几个结论 ①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数； ②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）； ③若X1，X2相互独立，则E（X1X2）＝E（X1）·E（X2）. 4. 二项分布 （1）伯努利试验：我们把只包含_________可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为_________. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果_________. （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__________，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～_______，且有_______，_________. 注：①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若 非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 5. 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为_________，，，，，. 其中n，N，，，，，. 如果随机变量X的分布列具有上式的