精品解析：第五章 一元函数的导数及其应用 讲核心 03

第五章 一元函数的导数及其应用 讲核心 03 （一）求函数最值 【例题】 1. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【练习题】 2. 函数在区间上取得最大值时的值为（　　） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的最大值与最小值之和为______． （二）已知最值情况求参数范围 【例题】 4. 已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【练习题】 5. 函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. 函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题. 【例题】 8. 已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ） A. B. 18 C. D. 27 【练习题】 9. 某厂生产x万件某产品的总成本为C(x)万元，且．已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为（ ） A. 23万件 B. 25万件 C. 50万件 D. 75万件 10. 不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为海里每小时时，燃料费是元每小时，而其他与速度无关的费用是元每小时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 （一）证明不等式 【例题】 11. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，证明：． 【练习题】 12. 已知函数． （1）已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程． （2）当时，求证． 13. 已知函数，． （1）判断函数的单调性； （2）证明：． （二）恒(能)成立问题 【例题】 14. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数k取值范围. 15. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性； （2）若在区间上有解，求实数的取值范围． 【练习题】 16. 已知，，，为的导函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围. 17 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，使得，求实数的取值范围. 1、由于利用零点存在定理时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等结构放缩，必要时可构造函数证明所取点的符号. 2、根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法：①利用零点存在的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. （一）讨论零点个数 【例题】 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）证明：当时，在上存在唯一零点． 【练习题】 19. 已知函数， （1）证明：当时，； （2）时，设，讨论零点的个数 20 已知函数. （1）求函数在上零点个数； （2）当时，求证：. （参考数据：） （二）根据函数零点情况求参数范围 【例题】 21. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若函数恰有两个零点，求正数a的取值范围． 【练习题】 22. 已知函数． （1）当时，求证：； （2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 23. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 24. ，，，． （1）若在点处的切线方程为，求实数，的值； （2）当时，的图象与的图象在内有两个不同的公共点，求实数的取值范围． （三）与零点有关的不等式问题 【例题】 25. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）设函数，若有两个零点，，且为的唯一极值点，求证：． 【练习题】 26. 已知函数，. （1）当时，求的极值； （2）当时，设函数的两个极值点为，，证明：. 27. 设，. （1）设，讨论函数的单调性； （2）若函数在有两个零点，，证明：. 28. 音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基