精品解析：第五章 一元函数的导数及其应用 讲核心 01

第五章 一元函数的导数及其应用 讲核心 01 1. 导数的概念及其意义 （1）函数的平均变化率：对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）. 这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝ . 我们把比值，即＝叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. （2）导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为 ），记作 或y′|x＝x0，即f′（x0）＝lim ＝lim . （3）导数几何意义：函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的 . 也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）. 相应的切线方程为 . （4）导函数的概念：当x＝x0时，f′（x0）是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的 （简称导数）. y＝f（x）的导函数有时也记作y′，即f′（x）＝y′＝lim . 答案：f（x0＋Δx）－f（x0），可导，瞬时变化率，f′（x0），切线的斜率，y－y0＝f′（x0）（x－x0），导函数 2. 导数的运算 （1）基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f′（x）＝0 f（x）＝xα（α∈Q，且α≠0） f′（x）＝ f（x）＝sinx f′（x）＝ f（x）＝cosx f′（x）＝ f（x）＝ax（a>0，且a≠1） f′（x）＝axlna f（x）＝ex f′（x）＝ f（x）＝logax（a>0，且a≠1） f′（x）＝ f（x）＝lnx f′（x）＝ （2）导数的四则运算法则 法则 和差 [f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x） 积 [f（x）g（x）]′＝ ， 特别地，[cf（x）]′＝ cf′（x）　 商 ′＝（g（x）≠0） （3）简单复合函数的导数 一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝ f（g（x））. 它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系 . 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 答案：αxα－1，cosx，－sinx，ex， f′（x）±g′（x）， f′（x）g（x）＋f（x）g′（x），y′x＝y′u·u′x 3. 导数的两条性质 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. （2）可导函数y＝f（x）的导数为f′（x），若f′（x）为增函数，则f（x）的图象是下凹的；反之，若f′（x）为减函数，则f（x）的图象是上凸的. 4. 几类重要切线方程 （1）y＝x－1是曲线y＝lnx的切线，y＝x是曲线y＝ln（x＋1）的切线，…，y＝x＋n是曲线y＝ln（x＋n＋1）的切线，如图1. 图1 　　图2 （2）y＝x＋1与y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. （3）y＝x是曲线y＝sinx与y＝tanx的切线，如图3. 图3 　　图4 （4）y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程又可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等 5. 函数的单调性与导数的关系 一般地，函数f（x）的单调性与导函数f′（x）的正负之间具有如下的关系：在某个区间（a，b）上，如果 ，那么函数y＝ f（x）在区间（a，b）上单调递增；如果 ，那么函数y＝ f（x）在区间（a，b）上单调递减. 注：在某区间内f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间上单调递增（减）的充分不必要条件. 可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是对∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零. 答案：f′（x）>0，f′（x）<0 6. 利用导数判断函数f（x）单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′（x）的零点； 第3步，用f′（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f′（x）在各个区