精品解析：第六章 平面向量及其应用 讲核心 02

两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b（b≠0）的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b（a≠0），当且仅当唯一一个实数λ，使b＝λa. 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数. 当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. 【例题】 1. 已知平面向量，若与共线且反向，则实数的值为__________． 【练习题】 2. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________． 3. 已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ） A. B. C. D. （一）平面向量数量积的综合运算 【例题】 4. 已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______ 【练习题】 5. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知，，，；若P是△ABC所在平面内一点，，则的最大值为是（ ） A. 17 B. 13 C. 12 D. 15 （二）平面向量数量积的应用 1、两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 2、求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝，将模的运算转化为向量的数量积. 3、求两向量a，b的夹角θ，通常采用公式进行求解. 【例题】 7. 已知向量满足. （1）当与的夹角为时，求； （2）当实数为何值时，向量与垂直； （3）若，求值. 【练习题】 8. 已知向量，满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 9. 已知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则以下说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 【易错题小练习】 11. 在中，，，，则的值为______________. 12. 在中，，，，则的值是_______． 13. 已知中，. （1）求的面积; （2）求的值. 【易错题小练习】 14. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是______． 15. 已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围. 16. 已知向量，，. （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围. 向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面几何的知识解题. 根据数量积求模或参数的值（范围）问题的一般方法：①基底法；②坐标法. 【例题】 17. 已知中，，，若与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【练习题】 18. 如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（ ） ①； ②过点作一条直线与边分别相交于点，若，，则； ③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 19. 已知非零向量和满足，且，则为( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 三边均不相等的三角形 20. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的垂心，，则 B. 若为锐角的外心，且，则 C. 若，则点的轨迹经过的重心 D. 若，则点的轨迹经过的内心 （一）正余弦定理的综合应用 1、解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系. 由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解还是两解. 2、边、角混合的条件，一般需要先利用正弦定理将其转化为边（或角）的条件. 3、三角形面积计算问题要选用恰当公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化. 面积最值问题，常化为边的关系用基本不等式，或化为角的关系用三角函数性质求解. 【例题】 21. 设内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，且___________，求的周长. 请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答. ①的面积为；②；③. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分. 【练习题】 22. ，，分别为中三个内角，，的对边，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，，，则符合条件的有且仅有两个 D. 若，则钝角三角形 23. ①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 在中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，且___________. （