精品解析：第六章 平面向量及其应用 讲核心 01

1. 向量的有关概念 名称 定义 说明 向量 在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量 平面向量是自由向量 有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 向量 的模 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作|| 向量的模是数量 零向量 长度为 的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于 的向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量 平行向 量（共线 向量） 方向 的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行 相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小 相反 向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0 答案：大小，方向，0，1个单位长度，相同或相反 2. 向量的线性运算 运 算 定义 法则 （或几何意义） 运算律（性质） 加 法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立 减 法 求两个向量差运算 a－b＝a＋（－b） 数 乘 求实数λ与向量a积的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝ ； 其方向：λ>0时，与a方向 ；λ<0时，与a方向 ；λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则 λ（μa）＝μ（λa）； （λ＋μ）a＝λa＋μa； λ（a＋b）＝λa＋λb 答案：|λ||a|，相同，相反 3. 向量共线定理 向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . 答案：b＝λa 4. 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ .我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 答案：λ1e1＋λ2e2 5. 平面向量正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. （2）线性运算的坐标表示 文字叙述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和. 若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝ . 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差. 若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝ . 两点构 成的向 量坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝ . 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 若a＝（x，y），λ∈R，则λa＝ . （3）平面向量共线的坐标表示：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 答案：（x1＋x2，y1＋y2），（x1－x2，y1－y2），（x2－x1，y2－y1）， （λx，λy） 6.向量的数量积 （1）向量数量积的定义 ①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b（如图所示），则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. ②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. ③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）向量的投影 ①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a， ＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. ②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe. （3）向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ. ②a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 　 ④|a·b|≤|a||b|