专题10 三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数和正切函数）（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题10 三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数与正切函数） 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理： 在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定 义 域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数　　　　 周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对 称 性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是 (k∈Z) 重难点题型突破1 求三角函数的周期 例1、（1）．（2019春·甘肃金昌·高一校考期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． （2）．（2021·山西怀仁·高三期中（文））已知的最小正周期为，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、（2022春·广东茂名·高一统考期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、（2020·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）函数的最小正周期为___. 重难点题型突破2 求三角函数的定义域 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 例2、（1）、（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为___________. （2）、（2023秋·高一单元测试）函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、（2021·新疆·巴楚县第一中学高三月考（文））函数的定义域为___________. 【变式训练2-2】、（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为 . 重难点题型突破3 求三角函数的单调性及最值 1、三角函数单调性的求法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解； (2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性． 2、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．　 例3、（1）．（2022·上海市新场中学高一期末）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． （2）．（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数在上单调递减，则ω的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练3-1】、（2022·全国·高三专题练习）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】、（2023·全国·高三专题练习）y＝cos的单调递减区间为 . 例4．（2021·新疆·新和县实验中学高二期末）已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的单调递增区间． 【变式训练4-1】、（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 例5．（2022·湖北·巴东县第三高级中学高二阶段练习）设函数的最小正周期为，且． (1)求和的值； (2)求函数的单调增区间． 【变式训练5-1】、（2023秋·甘肃·高三校考阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的最小值和最大值. 重难点题型突破4 求三角函数的对称性（奇函数、偶函数与对称轴、对称中心） 1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　 2.函数具有奇偶性的充要条件 函数