3.2 基本不等式(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高一数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（苏教版2019必修第一册）

3.2 基本不等式 1.探索并了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 1.4 基本不等式 1 一、主干知识 2 二、分类题型 3 题型一 利用基本不等式求最值 3 命题点1　配凑法 3 命题点2　常数代换法 6 命题点3　消元法 8 题型二 基本不等式的综合应用 16 命题点1　由基本不等式比较大小 16 命题点2　由基本不等式证明不等式 21 命题点3　由基本不等式求积最大 23 命题点4　由基本不等式求和最小 27 命题点5　二次与二次（一次）的商式的最值 30 命题点6　条件等式求最值 32 命题点7　基本不等式的恒成立问题及参数问题 34 命题点8　对勾函数的最值 40 题型三 利用基本不等式求解实际问题 42 三、分层训练：课堂知识巩固 49 一、主干知识 考点1：基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 考点2：几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3) (a，b∈R)． (4) (a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 考点3：算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 考点4：利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 二、分类题型 题型一 利用基本不等式求最值 命题点1　配凑法 【例题精析1】 已知，求的最小值为 . 【例题精析2】 函数 的最大值为 . 【例题精析3】 函数的最小值为 ． 【例题精析4】 求的最小值 . 【例题精析5】 当时，函数的最小值为 . 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【对点精练1】 当时，函数的最小值为 ． 【对点精练2】 当时，函数的最小值为__________________． 【对点精练3】 函数 的最小值为 ． 【对点精练4】 函数的最小值为 ． 命题点2　常数代换法 【例题精析6】 已知，，且，则的最小值为 ． 【例题精析7】 已知正实数，满足，则的最小值为 . 【例题精析8】 已知，且，则的最小值为 . 【对点精练5】 已知且，则的最小值是 ． 【对点精练6】 若正数a，b满足，则的取值范围是 ． 命题点3　消元法 【例题精析9】 若，且，则的最小值为 ． 【例题精析10】 已知，则的最小值是 ． 【例题精析11】 已知，，且，则的最小值为 . 【例题精析12】 设，，若，则的最大值为 ． 【例题精析13】 均为正实数，则的最小值为 ． 【例题精析14】 已知实数满足，则的最小值是 . 【例题精析15】 已知a，b都是正数，则的最小值是 ． 【例题精析16】 已知，都是正数，则的最小值是 . 【例题精析17】 已知，且，则的最大值 【例题精析18】 实数满足，则的最小值是 ． (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法． 【对点精练7】 已知且，则的最小值为 . 【对点精练8】 已知都是负实数，则的最小值是 . 【对点精练9】 已知，且，则的最小值为 . 【对点精练10】 已知，，若，则的最小值为 . 【对点精练11】 已知，则的最大值为 ． 题型二 基本不等式的综合应用 命题点1　由基本不等式比较大小 【例题精析19】