第三章《圆锥曲线》小结（3） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章《圆锥曲线》小结复习 第3课时 重点知识要点梳理： 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 焦三角形问题 离心率问题 轨迹问题 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 弦长、面积问题 中点弦问题 最值与范围问题 定点、定值问题 向量、综合问题 (1)求椭圆C的方程； (2)设斜率存在的直线PF2，与椭圆C的另一个交点为Q. 若存在T(t,0)，使得|TP|＝|TQ|，求t的取值范围. 基本技能过手 最值与范围问题 基本技能过手 （2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为N(x0，y0)， 直线PF2的斜率为k， 由(1)设直线PQ的方程为y＝k(x－1). 当k＝0时，t＝0符合题意； (2)设斜率存在的直线PF2，与椭圆C的另一个交点为Q. 若存在T(t,0)，使得|TP|＝|TQ|，求t的取值范围. 基本技能过手 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， ∴Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)＝8k2＋8>0， ∵|TP|＝|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线，∴TN⊥PQ，即kTN·k＝－1. 基本技能过手 向量与解析的交汇融合 练习一 向量问题坐标化，注意范围 研通难点 基本技能过手 研通难点 向量问题坐标化 设而要求 注意判别式条件 基本技能过手 定点定值问题 基本技能过手 基本技能过手 注意：设直线的点斜式方程时，需注意考虑斜率不存在情况 训练：在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C： y2＝4x，经过P(t,0)(t>0)的直线l与C交于A，B两点. (1)若t＝4，求AP长度的最小值； (2)设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存 在t，使得 －4？若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由. 基本技能过手 存在性问题 （2）设直线AB的方程为x＝my＋t， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 注意设直线方程的技巧 即有y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t， 设以AB为直径的圆上任一点Q(x，y)，M(x3,0)，N(x4,0)， 所以Q的轨迹方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝4m2＋2t， x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2 ＝－4m2t＋4m2t＋t2＝t2. 基本技能过手 所以Q的轨迹方程化为 x2－(4m2＋2t)x＋t2＋y2－4my－4t＝0. 令y＝0，得x2－(4m2＋2t)x＋t2－4t＝0. 所以上式方程的两根分别为x3，x4， 则x3x4＝t2－4t. 即有t2－4t＝－4，解得t＝2. 存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确 则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立， 再推出条件. (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意. 例1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，当P是椭圆C的上顶点时，△F1PF2的面积为1. （1）由题意可知 解得 故椭圆C的方程为＋y2＝1. 当k≠0时，联立 y0＝k(x0－1)＝， 即N . x1＋x2＝， ∴x0＝＝， 练习：已知点M是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为eq \f(4\r(3),3). (1)求椭圆C的方程； (2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值． 解：(1)在△F1MF2中，由eq \f(1,2)|MF1||MF2|sin 60°＝eq \f(4\r(3),3)， 得|MF1||MF2|＝eq \f(16,3). 由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos 60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－3|MF1||MF2|＝16， 解得|MF1|＋|MF2|＝4eq \r(2). 从而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4eq \r(2)，即a＝2eq \r(2). 由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2， 故椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. (2)证明：当直线l的斜率存在时，设斜率为k， 则其方程为y＋2＝k(x＋1)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＋2＝kx＋1