北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

数学 (清华附中高22级) 2023.11 第一部分（选择题共40分） 、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 (1)在复平面内，复数z= 1-31 1- ,则z引等于() (A)√2 ®)5 (C)2 (D)5 (2)已知向量a=0,2),a-i=(4,-2),则cos<a,b>等于() w店 D25 (3)已知函数∫)=3sin(4x+p0<p<受满是受=3，则f学等于升) (A)3 (C)0 (D)-3 (4)己知平面a与平面B间的距离为3，定点A∈a,设集合S={B∈B列AB=5},则S表示 的曲线的长度为) (A)6π (B)8π (C)10x (D)12π (5)已知函数四=nx+1.则f0,.f码，f的大小关系州) 2 ”3 A)f0<I②<f③ ⑧)f<f0② 2 3 gf<②<f0 3 2 回9<0<9 (6)已知直线1恒过点(0,5，圆C(-》+户=9，则直线1的斜率为-号是直线1与圆 C相切”的() (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)在△ABC中，sinB=√2sinA,∠C=105°，c=5+1,则△ABC的面积为() B)√5-1 5+ D)5+1 2 (8)已知数列{a,}的前n项和Sn=m2-10n(n=l,2,3,),下列判断中正确的是() (A)a3>0 (B)数列{a,}是单调递减数列 (C)数列{a,}前n项的乘积有最大值 (D)数列{a}前n项的乘积有最小值 第1页，共4页 (9)己知椭圆C: 父+上=1，R,5分别为左右焦点，P为椭圆上一点，满足 95 coFP5=}则oA的米为) (A)6 (®)V万 (C)2W5 (D)5+1 (10)如图，在正方体ABCD-4BCD,中，F为线段BC,的中点，E为线段4G上的动点，下 列四个结论中，错误的是() (A)存在点E,EF∥平面ABBA (B)对任意点E,EF⊥DB, (C)存在点E,使得EF与BD所成的角是60 D)不存在点E,使得EF与平面A4CC所成的角是30° 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. )已知点，5是椭圆C艺+号1的两个焦点，横坐标为4的点M在椭圆C上，则 △FMF的周长为 (12)古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验.下图1为《营造法 式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥 S-ABCD,如图2所示，其侧面SAD是边长为2N3cm的等边三角形，AB=lcm,且平面 SAD⊥底面ABCD,则该四棱锥的体积为 cm'. 图1 图2 (13)过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+0y-2)2=4所截得的弦长为 (14)已知点(2，)在函数f(x)= +2x,x50的图像上，且有最小值，则常数a的- 2-3,x>a 个取值为 第2页，共4页 (15)已知函数)=x+二的定义域为(0，+∞)，其最小值为2.点M是函数图像上的：意 一点，过点M分别作直线：y=x和y轴的垂线，垂足分别为A,B.其中O为坐标原 点给出下列四个结论： ①k=l ②不存在点M,使得MM2023; ③MMB的值恒为三 2 ③四边形0MMB面积的最小值为2 1. 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题14分) 已知函数fx)=4 cosxsin(x+)-V万 (I)求函数f(x)的单调递增区间； D求福数心因在区同行上的值城 (17)(本小题14分) 己知直线l:x-ay-2=0,圆C:(x-a+0y-12=2。 (I)若a>1,求证：直线1与圆C相交； (I)已知直线I与圆C相交于A,B两点若△ABC的面积为1，求a的值。 (18)(本小题14分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形PA⊥AB,PA=AB=1,AD=2,E,F 分别是BC,PA的中点， (I)求证：EF/平面PCD: (Ⅱ)再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平 面EFD与平面PAB夹角的余弦值， 条件①：平面PAB⊥平面ABCD; 条件②：PC=6. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 第3页，共4页 (19)(本小题14分) 知脯圆E:心 T+尔=1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为 .直线：x=y+2与椭 2 圆交于P,2两点，点A(3,2)不在直线I上，直线PA与x=4交于点B (1)求椭圆E的方程： ()求直线QB的斜率， (20)(本小题14分) 已知函数f)=ax+白+210-对，曲线y=f在(-L/-》处的切线方程为 y+3-2n2=0. (I)求