专题16 二元一次方程及一次函数及其应用-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题16二元一次方程及一次函数的应用 【知识梳理】 知识点01二元一次方程与一次函数的关系 1.任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. 2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程. 【点石成金】 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 知识点02二元一次方程组与一次函数 1. 二元一次方程组与一次函数 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【点石成金】 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(2，3)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 2. 图像法解二元一次方程组 求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种. 【点石成金】 利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解. 知识点03用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式. 2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 【题型探究】 题型一二元一次方程与一次函数的关系 1．如图，已知一次函数y＝x+1和一次函数y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，那么方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用y＝x+1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】 解：把x＝1时，代入y＝x+1，得出y＝2，即两直线的交点坐标P为（1，2），即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解为 故选B． 【点睛】 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标. 2.如图，已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线为轴交于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法： ①方程组的解为； ②为直角三角形； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． 其中正确的说法是______． 【答案】①②④ 【分析】 由题意①直线的交点即为该直线组成方程组时，该方程的解； ②通过已知条件，求解直线的未知数，通过判断两直线k的乘积是否为-1，即可； ③由②知两直线的表达式，进而可得点A，B，D的坐标，进一步即可求出△ABD的面积； ④求点C关于y轴的对称点，然后连接A，C1，与y轴的交点即为PA+PC的值最小的点； 【详解】 ①由于直线的交点即为该直线组成方程组时的解； ∴ 的解，即为两条直线的交点，为：，故①正确； ②将点C的坐标和点B的坐标分别代入直线和； 可得：、、； ∴ 直线和；又两直线的k分别为：和； 又 ；∴ ； ∴ △BCD为直角三角形；故②正确； ③由②知，，，；∴ ，； ∴ △ABD的面积为：；故③不正确； ④由题，对点作关于y轴的对称点，又； ∴ 连接A，C1与y轴的交点即为最小值点； 设过点A，C1的直线为：； 将点A，C1的坐标代入，可得：，；∴过点A，C1的直线为：； 又与y轴的交点坐标为：；∴ 点P的坐标为：；故④正确； 故填：①②④； 【点睛】 本题考查一次