2024年新高考解答题数列专题训练总结-2024年高考数学一轮复习考点方法题型总结（新高考专用）

2024年新高考解答题数列专题训练 考点一：等差等比基本通向求和公式的应用 等差数列：通向，求和公式 等比数列：通向，求和公式 注意：①若题目出现（等差中项），或者（我们可以令，则，即），此时数列为等差数列 ②若题目出现（等比中项），或者（我们可以令，则，即），此时数列为等比数列 【精选列题】 【例1】已知为等差数列的前项和，，． (1)求； (2)是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值时的值；若不存在，说明理由． 【例2】已知等差数列的前项和为， (1)求 和． (2)若数列成等比数列，且，求 【例3】已知数列和满足，且满足，，. (1)求数列、的通项公式； (2)设数列的前项和为，求当时，正整数的最小值. 【例4】已知满足，都有，满足，都有，且． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【跟踪训练】 1.已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值． 2.在数列中，，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．设等比数列满足，． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前项和．若，求的值． 4.已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，，． (1)若，且等比数列的公比大于0，求和的通项公式； (2)若，求． 考点二：证明数列为等差，等比问题 此类问题最常用的方法：①定义法，即证明等差数列只需要证明（常数）或者 证明等比数列只需要证明（常数）或者 ②等差中项法：即证明； 等比中项法：即证明 【精选列题】 【例1】设为数列的前项和，已知，． (1)证明：数列为等比数列； (2)判断，，是否成等差数列并说明理由． 【例2】记为数列的前n项和． (1)从下面三个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①；②数列是等差数列；③数列是等比数列． (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【例3】已知数列满足，. (1)设，证明：是等差数列； (2)设数列的前项和为，求. 【例4】已知数列和数列满足：，，，. (1)求证：为等差数列，为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【例5】已知数列的前项和为，． (1)若，求的通项公式． (2)若，求的取值范围． 【跟踪训练】 1.已知数列满足． (1)证明：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 2.已知数列满足：关于的一元二次方程有两个相等的实根. (1)求证：数列成等差数列； (2)设数列的前项和为，，，求的最小值. 3.已知数列中，，满足，设为数列的前项和． (1)证明：数列是等比数列； (2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 4.已知是首项为2，公差为3的等差数列，数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)若数列与中有公共项，即存在，使得成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作，求. 5.数列中，，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出； (2)记数列的前n项和为．若，求． 考点三：数列中的不定方程问题 解决此类问题，通过对所求不定方程进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，利用整数的离散性，进而解出变量，或者可从不定方程等式两边的符号和奇偶性角度分析，寻求矛盾来否定存在性 【例1】已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足. (1)求公差d； (2)是否存在正整数m，k使得. 【例2】已知数列的前项和为，满足，数列满足 ，且. （1） 求数列和的通项公式； （2） 是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【跟踪训练】 1.已知等差数列的前项和为，且. （1） 求数列的前项和； （2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 2.在数列中，，． （1）设，求数列的通项公式； （2）中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，说明理由． 3．设正项等比数列的前项和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由． 考点四：数列中的存在性问题 【例1】已知在数列中，，，其中，且，实数. (1)当时，求数列的通项公式； (2)是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【例2】已知数列满足，，且． (1)求数列的通项公式． (2)是否存在正整数n，使得，，等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【例3】已知数列满足：． (1)证明：时，； (2)是否存在这样的正数，使得数列是等比数