精品解析：云南省昆明市第三中学2023-2024学年高二上学期10月期中考试数学试题

昆明市第三中学高2025届高二年级上学期期中考试 数学试卷 命题人：张林、熊坚 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 同时抛两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 若O是正方体的中心，则异面直线与OC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B. C. D. 6. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ） A 6 B. 8 C. 12 D. 24 7. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆的两个焦点分别为，则的值不可能为（ ） A. 4 B. 8 C. 14 D. 18 8. 如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则菱形的面积与矩形的面积的比值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分． 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确有（ ） A. B. 若，则 C. 点A关于平面对称的点的坐标为 D. 10. 已知曲线，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆，也可能是直线 B. 曲线C可能是焦点在轴上的椭圆 C. 当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D. 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 11. 已知与，则下列说法正确的是（ ） A. 与有2条公切线 B. 当时，直线是与的公切线 C. 若分别是与上的动点，则的最大值是3 D. 过点作的两条切线，切点分别是，则四边形的面积是 12. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 点的坐标为 C. 过点作，垂足为，则 D. 四边形面积的最小值为4 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 写出一个关于直线对称的圆的方程___________. 14. 设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于__________. 15. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________ 16. 已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为，，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为_______ 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， （1）求角A； （2）如果，，求△ABC的面积. 18. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直． 问题：已知直线过点M（3，5），且______． （1）求的方程； （2）若与圆相交于点A、B，求弦AB长． 19. 已知椭圆，左、右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于两点． （1）求的长和的周长； （2）求的面积． 20. 如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，平面ABCD，，，，，为线段PB上一个动点． （1）若E为线段PB的中点，求E到平面PDC的距离； （2）求直线PC与平面EAD所成角的正弦值的最大值． 21.