专题2.4 勾股定理的应用（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题2.4 勾股定理的应用 【典例1】吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长． （1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处； （2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处； （3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处． 【思路点拨】 （1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案； （2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案； （3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案． 【解题过程】 （1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长， ∵正方体的棱长为5cm， ∴AC=10，CC1=5， ∴AC1==cm． ∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm． （2）分两种情况： ①如图，当横向展开时：AC=10，CC1=6， ∴AC1==cm， ②如图，当竖向展开时：AD=11，DC1=5， ∴AC1==cm， ∵＜， ∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm． （3）圆柱侧面展开图如图所示： ∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm， ∴BC=5，AB=5， ∴AC==cm， ∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm． 1．（2023春·八年级课时练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（        ）米． A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1 2．（2023春·八年级课时练习）如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　． A．4 B．5 C．6 D． 3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A．25 B．5 C． D．5 4．（2022秋·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023春·八年级课时练习）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 6．（2023春·八年级课时练习）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，于点D，则AD的长为______海里． 7．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）在中，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为_____________秒． 8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，是边上的高，垂足为，已知上方有一动点，且点到两点的距离相等，则的周长最小值为_________________． 9．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，已知正方形的边长为1，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转90°到EF，连接、，则的最小值等于______． 10．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为___________； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值___________； （3）代数应用：求代数式的最小值___________． 11．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，A、B两块试验田相距200