第2章 特殊三角形（单元测试B卷）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第2章 《特殊三角形》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，满分30分） 1．（3分）下列图片是几所名牌大学的校徽（不考虑外圈文字），其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为（　　） A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°． 3．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 5．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于D，连接BD，若AD＝6，则CD的长为（　　） A．6 B．3 C．4 D．2 6．（3分）如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE＝7，则线段DE的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝3，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（3分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 10．（3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD； ②△ADC是等腰直角三角形； ③∠ADB＝∠AEB； ④S四边形BCDE＝BD•CE； ⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 11．（3分）“对顶角相等”的逆命题是 　 　．（用“如果…那么…”的形式写出） 12．（3分）已知等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角的度数是 　 　． 13．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝　 　． 14．（3分）直角三角形两边长分别为5和12，则斜边上的高为 　 　． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，AD＝8，AD垂直平分BC，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是　 　． 16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝14．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当t＝ 　 　时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，在下面这个正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′． （2）在（1）的结果下，设AB交直线l于点D，求四边形AB′C′D的面积． 18．（6分）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝20°． （1）求∠DAC的大小． （2）若AB＝13，AD＝5，求BC的长． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 21．（10分）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点． （1）求证：OB＝OD； （2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求AD的长． 22．（10分）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 23．（12分）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　 　 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 24．（12分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝70°，∠B＝35°，那么∠A与∠B互为“友好角”，△ABC为“友好三角形”． （1）如图1，Rt△ABC是“友好三角形”，∠ACB＝90°，∠A与∠B互为“友好角”，且∠A＞∠B，CD⊥AB于点D．请说明△ACD、△BCD都是“友好三角形”； （2）△ABC是“友好三角形”，∠B＝∠C，求∠A的度数； （3）如图2，在△ABC中，∠B＝78°，∠BAC＝62°，D是边BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，若△ABD是“友好三角形”，直接写出∠ADC的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 《特殊三角形》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，满分30分） 1．（3分）下列图片是几所名牌大学的校徽（不考虑外圈文字），其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”即可解答． 【解答】解：根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合可判断A、B、D不是轴对称图形，C是轴对称图形， 故选：C． 2．（3分）如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为（　　） A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°． 【分析】根据AB＝AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC、∠ACB的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC＝30°，然后即可求出∠BDE的度数． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°， ∵以B为圆心，BC长为半径画弧， ∴BE＝BD＝BC， ∴∠BDC＝∠ACB＝75°， ∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°， ∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣45°）＝67.5°． 故选：A． 3．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形内角和定理进行判断求解． 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°，则△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴，则△ABC是直角三角形； ③∠A＝90°﹣∠B，即∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，则△ABC是直角三角形； ④∵∠A＝2∠B＝3∠C， ∴， ∴， 故△ABC不是直角三角形． 故选：C． 4．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意； B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意； C．∵BA∥EF， ∴∠A＝∠ACF， 由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意； D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意． 故选：D． 5．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于D，连接BD，若AD＝6，则CD的长为（　　） A．6 B．3 C．4 D．2 【分析】利用垂直平分线的性质得到AD＝BD＝6，∠A＝∠ABD＝30°，再根据∠C＝90°得到∠CBD＝30°，从而根据30°所对的直角边是斜边的一半得到结果． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD＝6，∠A＝∠ABD＝30°， ∵∠C＝90°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝30°， ∴CD＝BD＝3， 故选：B． 6．（3分）如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE＝7，则线段DE的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】由题意易得∠ABF＝∠CBF＝∠DFB，然后可得DB＝DF，同理可得EC＝EF，进而问题可求解． 【解答】解：∵∠B和∠C的平分线相交于点F， ∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF， ∵DF∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB＝∠ABF， ∴DB＝DF， 同理可得EC＝EF， ∵BD+CE＝7， ∴DF+EF＝DE＝7； 故选：C． 7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝3，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝1.5，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3.5． 【解答】解：如图，连接CM、CN， △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC＝6， ∵DE＝3，点M、N分别是DE、AB的中点， ∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝1.5， 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为：5﹣1.5＝3.5． 故选：C． 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】连接AC，先证明△ABC≌△ADC（SSS），根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠CAD，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ACE，进一步可得∠CAD＝∠ACE，可得EA＝EC＝9，根据AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是等边三角形，从而可知△EFD是等边三角形，可知EF＝DE＝3，根据CF＝CE﹣EF求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠CAD， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠CAD＝∠ACE， ∴EA＝EC， ∵CE＝9， ∴AE＝9， ∴ED＝12﹣9＝3， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°， ∴△EFD是等边三角形， ∴EF＝ED＝3， ∴CF＝CE﹣EF＝9﹣3＝6， 故选：C． 9．（3分）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 【分析】根据勾股定理求出AB＝5，再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝＝5， ∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50， 图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50， 图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50， ......， ∴图6中所有正方形的面积为5×25+50＝175， 故选：B． 10．（3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD； ②△ADC是等腰直角三角形； ③∠ADB＝∠AEB； ④S四边形BCDE＝BD•CE； ⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC＝90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误． 【解答】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠CAD， ∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝90°+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD，故①正确； ∠ABD＝∠ACE， ∴∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°， 在△BCG中，∠BGC＝180°﹣（∠BCG+∠CBG）＝180°﹣90°＝90°， ∴BD⊥CE， ∴S四边形BCDE＝BD•CE，故④正确； 由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2＝BG2+CG2， 在Rt△DEG中，DE2＝DG2+EG2， ∴BC2+DE2＝BG2+CG2+DG2+EG2， 在Rt△BGE中，BE2＝BG2+EG2， 在Rt△CDG中，CD2＝CG2+DG2， ∴BE2+CD2＝BG2+CG2+DG2+EG2， ∴BC2+DE2＝BE2+CD2，故⑤正确； 只有AE∥CD时，∠AEC＝∠DCE， ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°， 无法说明AE∥CD，故②错误； ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵∠AEC与∠AEB相等无法证明， ∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的结论有①④⑤共3个． 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 11．（3分）“对顶角相等”的逆命题是 　如果两个角相等，那么这两个角是对顶角　．（用“如果…那么…”的形式写出） 【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【解答】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 12．（3分）已知等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角的度数是 　40°或100°　． 【分析】依题意分两种情况：①当度数为40°的角是顶角时；②当度数为40°的角为底角时，则顶角为100°，综上所述即可得出答案． 【解答】解：依题意有以下两种情况： ①当度数为40°的角是顶角时，则该等腰三角形底角的度数为：×（180°﹣40°）＝70°， 此时该等腰三角形的三个内角为：40°，70°，70°； ②当度数为40°的角为底角时，则该等腰三角形顶角的度数为：180°﹣2×40°＝100°， 此时该等腰三角形的三个内角为：100°，40°，40°； 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为40°或100°， 故答案为：40°或100°． 13．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝　58°　． 【分析】设∠ABD＝α，∠BAD＝β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值． 【解答】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β ∵AD⊥BD ∴∠ABD+∠BAD＝90°， 即α+β＝90° ∵BD是∠ABC得角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2α， ∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180 ∴2α+β+38°+20°＝180°， ∴联立可得解得： ∴∠BAD＝58° 法二，延长AD交BC于E， ∵∠DAC＝20°，∠C＝38°， ∴∠AEB＝20°+38°＝58°， ∵BD⊥AD， ∴∠BDA＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE， ∴∠BEA＝∠BAD＝58°， 故答案为：58° 14．（3分）直角三角形两边长分别为5和12，则斜边上的高为 　或　． 【分析】根据勾股定理求出第三条边的长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可． 【解答】解：当直角三角形的两直角边长分别为5和12时， ∴斜边长＝， ∴斜边的高＝． 当直角三角形的斜边为12时， ∴直角三角形的另一个直角边长为＝， ∴斜边的高＝． 故答案为：或． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，AD＝8，AD垂直平分BC，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是　　． 【分析】连接BE，过B作BG⊥AC于G；由AD垂直平分BC，得AB＝AC＝10，BE＝CE，则EC+EF＝BE+EF≥BF，当B、E、F三点共线，且BF⊥AC即BF，BG重合时，BF最小，从而EC+EF最小；利用面积相等关系即可求得最小值． 【解答】解：如图，连接BE，过B作BG⊥AC于G； ∵AD垂直平分BC， ∴AC＝AB＝10，BE＝CE， ∴EC+EF＝BE+EF≥BF， ∴当B、E、F三点共线时，BF最小， 此时BF⊥AC，即F、G重合， ∴BF与BG重合， 从而EC+EF最小，最小值为线段BG的长； ∵， ∴． 故答案为：． 16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝14．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当t＝ 　或　时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【分析】过点P作PH⊥BC于点H，依题意得：CQ＝t，DP＝2t，则BQ＝8﹣t，证明四边形PHCD为矩形，则PH＝CD＝6，PD＝HC＝2t，HQ＝t，BH＝8﹣2t，进而根据勾股定理得PQ2＝36+t2，PB2＝36+（8﹣2t）2，然后分三种情况讨论如下：①当PB＝PQ时，则36+（8﹣2t）2＝36+t2，由此解出t即可；②当PQ＝BQ时，则36+t2＝（8﹣t）2，由此解出t即可；③当PB＝BQ时，则36+（8﹣2t）2＝（8﹣t）2，此方程无实数根，则不存在PB＝BQ的情况，综上所述即可得出答案． 【解答】解：过点P作PH⊥BC于点H，如图所示： 则∠PHC＝∠PHB＝90°， 依题意得：CQ＝t，DP＝2t， ∵BC＝8， ∴BQ＝8﹣t， ∵AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠D＝∠C＝∠PHC＝90°， ∴四边形PHCD为矩形， 又∵DC＝6， ∴PH＝CD＝6，PD＝HC＝2t， ∴HQ＝HC﹣CQ＝t，BH＝BC﹣HC＝8﹣2t， 在△PHQ中，由勾股定理得：PQ2＝PH2+HQ2＝36+t2， 在△PBH中，由勾股定理得：PB2＝PH2+BH2＝36+（8﹣2t）2， 而BQ2＝（8﹣t）2， 当以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当PB＝PQ时，36+（8﹣2t）2＝36+t2， 整理得：3t2﹣32t+64＝0， 解得：t1＝，t2＝8， ∵当t＝8时，点Q与点B重合，此时以B，P，Q三点为顶点的三角形不存在， ∴t＝8不合题意，舍去， ∴t＝； ②当PQ＝BQ时，36+t2＝（8﹣t）2， 解得：t＝； ③当PB＝BQ时，36+（8﹣2t）2＝（8﹣t）2， 整理得：3t2﹣16t+36＝0， ∵该方程根的判别式为：（﹣16）2﹣4×3×36＜0， ∴方程3t2﹣16t+36＝0没有实数根， 即不存在PB＝BQ的情况， 综上所述：当t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，在下面这个正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′． （2）在（1）的结果下，设AB交直线l于点D，求四边形AB′C′D的面积． 【分析】（1）根据轴对称特效的特点先确定出A、B、C对应点A′、B′、C′的位置，再顺次连接A′、B′、C′即可； （2）用四边形AB′C′D所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案． 【解答】解：（1）△A′B′C′即为所求； （2）四边形AB′C′D的面积为4×6﹣×1×1﹣×3×5﹣×1×4＝14． 18．（6分）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】由D是AB中点可得AD＝BD，再证明Rt△ACD≌Rt△BCD可得∠A＝∠B，然后根据等角对等边可得AC＝BC即可证明结论． 【解答】证明：∵D是AB中点， ∴AD＝BD， 在Rt△ADE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝20°． （1）求∠DAC的大小． （2）若AB＝13，AD＝5，求BC的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质得∠ADC＝90°，然后利用∠B的度数求得答案即可； （2）首先利用勾股定理求得BD的长，然后求得BC的长即可． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝20°， ∴∠C＝∠B＝20°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣20°＝70°； （2）∵AB＝13，AD＝5， ∴BD＝＝＝12， ∵AD⊥BD， ∴BC＝2BD＝2×12＝24． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 【分析】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积． 【解答】解：∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 又∵AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：AC＝＝5， 又∵CD＝12，AD＝13， ∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°， 则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36． 故四边形ABCD的面积是36． 21．（10分）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点． （1）求证：OB＝OD； （2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求AD的长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出OB＝AC，OD＝AC，即可求出答案； （2）求出AC长，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，再求出答案即可． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是AC的中点， ∴OB＝AC，OD＝AC， ∴OB＝OD； （2）解：∵∠ABC＝90°，O为AC的中点， ∴AC＝2OB＝12， ∵∠ACD＝30°，∠ADC＝90°， ∴AD＝AC＝6， ∴AD的长为6． 22．（10分）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出AB＝CB，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出∠CDE＝30°＝∠E，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 23．（12分）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　角平分线上的点到角的两边距离相等　 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明； （3）在BC时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，结合图形证明． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°， ∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF， ∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠C， 在△DEA和△DFC中， ∴△DEA≌△DFC（AAS）， ∴DA＝DC； （3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK， ∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBK＝∠ABC＝20°， ∵BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°， 由（2）的结论得AD＝DK， ∵∠BKD＝∠C+∠KDC， ∴∠KDC＝∠C＝40°， ∴DK＝CK， ∴AD＝DK＝CK， ∴BD+AD＝BK+CK＝BC． 24．（12分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝70°，∠B＝35°，那么∠A与∠B互为“友好角”，△ABC为“友好三角形”． （1）如图1，Rt△ABC是“友好三角形”，∠ACB＝90°，∠A与∠B互为“友好角”，且∠A＞∠B，CD⊥AB于点D．请说明△ACD、△BCD都是“友好三角形”； （2）△ABC是“友好三角形”，∠B＝∠C，求∠A的度数； （3）如图2，在△ABC中，∠B＝78°，∠BAC＝62°，D是边BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，若△ABD是“友好三角形”，直接写出∠ADC的度数． 【分析】（1）利用直角三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ACD＝30°，∠BCD＝60°，再利用“友好三角形”的定义解答即可； （2）根据“友好三角形”的定义分为∠A＝2∠B和∠B＝2∠A两种情况讨论，根据三角形的内角和定理求解即可； （3）根据题意推出∠BAD＜62°，根据“友好三角形”的定义分为六种情况讨论：①当∠B＝2∠BAD时，②当∠BAD＝2∠B时，③当∠B＝2∠ADB时，④当∠ADB＝2∠B时，⑤当∠ADB＝2∠BAD时，⑥当∠BAD＝2∠ADB时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，即可求解． 【解答】（1）证明：∵Rt△ABC是“友好三角形”，∠A与∠B互为“友好角”，∠A＞∠B， ∴∠A＝2∠B， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴2∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∵CD⊥AB于D， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴∠A＝2∠ACD， ∴∠A＝60°与∠ACD互为“友好角”，△ACD是“友好三角形”； 在Rt△BCD中，∠B+∠BCD＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠BCD＝2∠B， ∴∠B与∠BCD互为“友好角”，△BCD是“友好三角形”； ∴△ACD和△BCD都是“友好三角形”； （2）解：∵△ABC是“友好三角形”，∠B＝∠C， ∴∠A与∠B（或∠C）互为“友好角”， 若∠A＝2∠B，则∠A＝2∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠B+∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝45°， ∴∠A＝2∠B＝90°， 若∠B＝2∠A，则∠C＝2∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+2∠A＝180° ∴∠A＝36°； 综上所述，∠A的度数为90°或36°； （3）解：∵点D在BC边上，不与点B，C重合， ∴∠BAD＜∠BAC， ∵∠BAC＝62°， ∴∠BAD＜62°， ∵△ABD是“友好三角形”， ①当∠B＝2∠BAD时， ∵∠B＝78°， ∴∠BAD＝39°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝78°+39°＝117°； ②当∠B＝2∠ADB时，∠ADB＝39°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣78°﹣39°＝63°＞62°（不合题意舍去）； ③当∠BAD＝2∠B时，∠BAD＝2×78°＝156°＞62°（不合题意舍去）， ④当∠ADB＝2∠B时，∠ADB＝2×78°＝156°，∠ADB+∠B＝156°+78°＞180°（不合题意舍去）； ⑤当∠ADB＝2∠BAD时，∠BAD+2∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣78°，∴∠BAD＝34°，符合题意， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝78°+34°＝112°； ⑥当∠BAD＝2∠ADB时，2∠ADB+∠ADB＝180°﹣∠B＝180°﹣78°， ∴∠ADB＝34°， ∴∠BAD＝68°＞62°（不合题意舍去）； 综上所述，∠ADC的度数为112°或117°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$