专题2.3 勾股定理与几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题2.3 勾股定理与几何综合 【典例1】如图，中，，，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2s后，求的周长； （2）求出t为何值时，为等腰三角形； （3）当点P运动到任意一条角平分线上时（不与顶点A、B、C重合），直接写出t的值． 【思路点拨】 （1）利用勾股定理得出cm，进而表示出的长，由勾股定理求出，进而得出答案； （2）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案； （3）分三种情况讨论，当点P恰好在的角平分线上时，利用角平分线的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可；当点P恰好在的角平分线上时，利用面积法求得，据此可求解；当点P恰好在的角平分线上，同理利用角平分线的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴由勾股定理得， 由题意得，出发2秒后，则，那么． ∵， ∴由勾股定理得． ∴的周长为：； （2）解：若P在边上时， ， 此时用的时间为，故时为等腰三角形； 若P在AB边上时，有三种情况： ①， 此时，P运动的路程为， 所以用的时间为，故时为等腰三角形； ②若，过C作斜边AB的高， 根据面积法，， ∴， 根据勾股定理求得， 所以P运动的路程为， ∴所以用的时间为，故时为等腰三角形； ③若时， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴P的路程为， 所以时间为，故时为等腰三角形． ∴t为或或或时为等腰三角形； （3）解：点P恰好在的角平分线上时， 如图所示，过点P作于点G， ∴． 在与中，， ∴， ∴， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴当时，点P恰好在的角平分线上； 当点P恰好在的角平分线上时， 作于E，于F． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴P的路程为， ∴当时，点P恰好在的角平分线上； 当点P恰好在的角平分线上，过P作，    ∵点P恰好在的角平分线上， 且， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴中，， 即， 解得， ∴P的路程为， ∴当时，点P恰好在的角平分线上； 综上所述，满足条件的t的值为或或． 1．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知与在同一平面内，点，不关于AB对称，，，，则长为（   ） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 2．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（  ） A．13 B．12 C．11 D．10 4．（2023春·八年级单元测试）如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2023春·八年级课时练习）如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　） A． B． C． D． 6．（2023春·八年级课时练习）如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（    ） A． B．10 C．11 D． 7．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点．以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_________________． 8．（2023春·八年级课时练习）如图，长方形中，，点是射线上一点，将沿折叠得到，点恰好落在的垂直平分线上（直线也是的垂直平分线），线段的长为___________． 9．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，平分，则______． 10．（2023春·八年级课时练习）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 ________ 11．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，中，，于点D，平分，交与点E，于点F，且交于点G，若，则_____． 12．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝50cm，BC＝30cm，AC＝40cm． （1）求证：∠ACB＝90° （2）求AB边上的高． （3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）． ①BD的长用含t的代数式表示为　 　． ②当△BCD为等腰三角形时，直接写出t的值． 13．（2023春·八年级课时练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时